ビュールマンモデル

損保数理・用語・経験料率・クレディビリティ理論

ひとことで言うと

「今年たまたま事故が多かった契約者」の保険料を、その契約者自身の実績だけで決めると振れが大きすぎる。かといって集団全体の平均だけで決めると、その契約者固有のリスクの高さ・低さを反映できない。ビュールマンモデルは、両者を信頼度Zという重みで混ぜ合わせ、「自分の実績をどれだけ信じるか」を数式で決める方法。

信頼度Zが大きいほど、推定値μ̂は実績平均X̄に近づく（Zが小さいほど集団平均μに近づく）。図はZ=0.7の例。

数式で表すと

\hat\mu=Z\bar X+(1-Z)\mu,\qquad Z=\dfrac{n}{n+k},\quad k=\dfrac{v}{w}=\dfrac{E\bigl[V[X\mid\Theta]\bigr]}{V\bigl[E[X\mid\Theta]\bigr]}

契約者 $i$ のリスクパラメータを $\Theta_i=\theta$ としたときの条件付き分布を考える。全契約者に共通する集団平均を $\mu=E\bigl[E[X\mid\Theta]\bigr]$

試験に出る性質

v・wの不偏推定量の導出（ノンパラメトリック法）

特定の分布を仮定せず、実績データからv・wを不偏推定する手順（各契約者内の標本分散の平均でvを、契約者間の標本分散から $v/n$ を差し引いた残差でwを推定する）を導出させる設問がある（2016年度問題2Ⅱ(1)）。最小二乗法の正規方程式からビュールマン推定量そのものを導出させる設問もある（2020年度問題3Ⅳ(1)、2025年度問題2(4)ア）。

信頼度Zと予測値の数値計算

実績データからv,wを求め $Z=n/(n+k)$ を計算し、契約者ごとの翌年推定値 $\hat\mu=Z\bar X+(1-Z)\mu$

例で見る

ある契約者について、過去3年間のクレームコストが 8, 10, 12（平均 $\bar X=10$ ）であったとする。集団全体の平均は $\mu=9$ 、過程分散の期待値 $v=6$ 、契約者間分散 $w=1.5$

つまずきポイント

v（過程分散の期待値、契約者内のばらつき）とw（仮説平均の分散、契約者間のばらつき）を取り違えやすい。vが大きい→自分の実績は信頼できない（偶然変動が大きい）→Zは小さくなる。wが大きい→契約者ごとの体質差がはっきりしている→自分の実績を信じてよい→Zは大きくなる。分子と分母の意味を逆に覚えると符号・大小関係を誤る。
k=v/w であって w/v ではない。Z=n/(n+k) の形を丸暗記していると、vとwを逆にしたまま代入してしまうミスが起きやすい。定義（vは契約者内、wは契約者間）に立ち返って確認する。
ビュールマンモデルの予測値は線形推定量であり、必ずしも真のベイズ事後平均と一致しない（ガンマ-ポアソン等の共役事前分布の場合は一致するが、一般には近似）。「ビュールマン＝ベイズ」と混同しない（2020年度問題3Ⅳ(2)のように両者を数値で対比させる出題がある）。

定着クイズ

ある契約者の過去5年間のクレームコストの平均は $\bar X=12$ 、集団全体の平均は $\mu=10$ 、 $k=v/w=3$ であるとき、ビュールマンモデルによる翌年のクレームコストの推定値に最も近いものはどれか。

契約者間の体質差（リスクの異質性）が大きい集団ほど、ビュールマンモデルの信頼度Zはどうなるか。

ビュールマンモデルにおいて、観測年数nを増やしていくと信頼度Zはどのように変化するか（k=v/wは一定とする）。

この用語を扱う問題（17）

ベイズ推定（クレディビリティ）→