ベータ係数

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投資理論・公式

ひとことで言うと

市場全体が 1% 動いたとき、その資産が何% 動くかを表す感応度。β=1.5 なら市場が 1% 上がると平均的に 1.5% 上がる傾向がある。

特性線：横軸は市場収益率、縦軸は個別資産収益率の散布図。回帰直線の傾きがβ。β=1.4 の例では市場が 1% 動くと資産は約 1.4% 動く。

数式で表すと

$\beta_i = \frac{\mathrm{Cov}(R_i, R_M)}{\sigma^2_M}$

個別証券の市場ポートフォリオへの感応度。β = Cov(Rᵢ, R_M)/σ²_M。市場PF自身のβ=1、安全資産β=0。

β は個別資産

i

と市場ポートフォリオ

M

の関係を表す係数で

\beta_i = \frac{\mathrm{Cov}(R_i, R_M)}{\sigma^2_M}

で定義される。これは市場収益率を説明変数、個別資産収益率を被説明変数とした単回帰式の傾きに等しい（特性線の傾き）。 β>1 の資産は市場の動きを増幅する（ハイリスク・ハイリターン）、0<β<1 の資産は市場より小さく動く（ローリスク）、β<0 の資産は市場と逆方向に動く（ヘッジ機能あり）。

試験に出る性質

市場ポートフォリオ自身の β は 1

市場ポートフォリオ $M$ の $\mathrm{Cov}(R_M, R_M) = \sigma^2_M$ なので、 $\beta_M = \sigma^2_M / \sigma^2_M = 1$ 。

β と相関係数の関係

$\beta_i = \rho_{iM} \cdot (\sigma_i / \sigma_M)$ 。相関係数 $\rho_{iM}$ と標準偏差の比の積。β と相関係数は異なる概念。

β はリスク管理・ポートフォリオ構築に使う

株式ポートフォリオの β を下げたいときは β の低い銘柄を追加するか、株価指数先物を売り建てる（β ヘッジ）。

例で見る

$\mathrm{Cov}(R_i, R_M)=0.0180$ 、 $\sigma_M=10\%$ （ $\sigma^2_M=0.01$ ）のとき、 $\beta_i = 0.0180 / 0.01 = 1.8$ 。また $\sigma_i=20\%$ 、 $\rho_{iM}=0.9$ でも同じ値： $\beta_i = 0.9 \times (0.20/0.10) = 1.8$ 。

つまずきポイント

β は相関係数ではない。 $\beta = \rho \cdot (\sigma_i / \sigma_M)$ の関係があり、β=1 でも相関係数は 1 ではない（ $\sigma_i = \sigma_M$ のときのみ等しい）。
β は「将来の感応度」ではなく「過去データから推定した感応度」。市場環境の変化とともに変動しうる。

定着クイズ

$\mathrm{Cov}(R_i, R_M)=0.030$ 、市場ポートフォリオの分散 $\sigma^2_M=0.020$ のとき、ベータ係数 $\beta_i$ はいくらか。

相関係数 $\rho_{iM}=0.8$ 、個別資産の標準偏差 $\sigma_i=25\%$ 、市場の標準偏差 $\sigma_M=20\%$ のとき、 $\beta_i$ はいくらか。

ベータ係数について正しい記述はどれか。