リターンの正規分布近似とVaR

投資理論・公式・ポートフォリオ理論

ひとことで言うと

VaRは「95%の確からしさで、保有期間内の損失はこの金額を超えない」という下方リスクの指標。同じ正規分布の当てはめを逆向きに使えば「リターンが正になる確率は何%か」も同じ表1枚で出せる。分散投資でポートフォリオの $\sigma$ が下がれば、VaR は下がり、正のリターンとなる確率は上がる。

正規分布を仮定したVaR。分布の左裾（信頼水準95%なら下側5%点）までの損失がVaR。期待値 μ から z_α σ 離れた点に対応する。

\mathrm{VaR}_{\alpha} = W\,(z_{\alpha}\sigma - \mu)

リターンの正規分布近似：ポートフォリオのリターン $R$ が $N(\mu,\sigma^{2})$ に従うとみなすと、標準正規分布表1枚で「金額」と「確率」を双方向に行き来できる。 $\mu$ ・ $\sigma$ はいずれも保有期間換算。

【向き1】確率 → 金額（VaR） VaR（Value at Risk）：一定の信頼水準 $1-\alpha$

付表を引いて $\mathrm{VaR}=W(z_\alpha\sigma-\mu)$ を計算

正規分布を仮定し、標準正規分布表（付表）から信頼水準に応じた $z_\alpha$

保有額 $W = 100$ 億円、期待リターン $\mu = 2\%$ 、標準偏差 $\sigma = 10\%$ 、信頼水準95%（ $z = 1.645$

z_α は片側のパーセント点（95%→1.645、99%→2.326）。両側の値と混同しない。
μ を引くかは定義次第。保有期間が長いと μ の寄与が無視できない。設問の定義に従う。
VaRは『絶対に超えない上限』ではなく『α の確率で超える』水準。最大損失そのものではない。
確率を求めるときは上側か下側かを取り違えない。正のリターンとなる確率は $\Phi(\mu/\sigma)$ であって $\Phi(-\mu/\sigma)$ ではない（両者を足すと1）。

保有額 $W=200$ 億円、期待リターンは無視、標準偏差 $\sigma=8\%$ 、信頼水準95%（ $z=1.645$ ）のときの VaR に最も近いものはどれか。

信頼水準を95%（ $z=1.645$ ）から99%（ $z=2.326$ ）に上げると、VaR はどうなるか。

相関が1未満の2資産に分散投資したポートフォリオの VaR は、各資産の VaR の単純和と比べてどうか。