平均・分散型目的関数（リスク回避度）

【安全資産と危険資産1つのとき】 安全資産のリターンを $r_f$、危険資産の期待リターンを $\mu$、分散を $\sigma^{2}$、危険資産への投資比率を $w$ とすると $\mu_P=r_f+w(\mu-r_f),\qquad \sigma_P^{2}=w^{2}\sigma^{2}$ です。これを代入して $w$ で微分し $0$ と置くと $(\mu-r_f)-2\lambda w\sigma^{2}=0\ \Longrightarrow\ w^{*}=\dfrac{\mu-r_f}{2\lambda\sigma^{2}}$ が得られます。分母の $2$ は $w^{2}$ を微分したときに出るもので、落とすと比率が2倍になります。

【係数の形は問題文が与える】 本試験は $\lambda$ の値だけでなく係数の形そのものを毎回問題文で与えます。$U=\mu_P-\lambda\sigma_P^{2}$ の形と、$U=\mu_P-\dfrac{1}{2}\gamma\sigma_P^{2}$ のように $\dfrac{1}{2}$ を含む形の両方が出ています。後者では1階条件が $(\mu-r_f)-\gamma w\sigma^{2}=0$ になるので $w^{*}=\dfrac{\mu-r_f}{\gamma\sigma^{2}}$ となり、同じ数値を当てはめると前者のちょうど2倍です。公式を覚えて当てるのではなく、その問題の $U$ をその場で微分するのが安全です。

【危険資産が2つのとき】 安全資産を使わず、期待リターン $\mu_1,\mu_2$、分散 $\sigma_1^{2},\sigma_2^{2}$、共分散 $\sigma_{12}$ の2資産に $w$ と $1-w$ を投じる場合は $w^{*}=\dfrac{\mu_1-\mu_2+2\lambda(\sigma_2^{2}-\sigma_{12})}{2\lambda(\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}-2\sigma_{12})}$ になります。共分散が入るのが安全資産ありの形との違いです。

【何が $\lambda$ で動き、何が動かないか】 $w^{*}$ は $\lambda$ に反比例して小さくなります。一方、危険資産どうしをどう混ぜるか（接点ポートフォリオの構成比）はシャープ比を最大にする点で決まり、$\lambda$ を含みません。「どう混ぜるか」は全員共通、「どれだけ持つか」だけが選好で決まる、というのが分離定理です。

$\lambda=5$ なら $w^{*}=\dfrac{0.05}{2\times5\times0.04}=0.125$、$\lambda=2$ なら $w^{*}=\dfrac{0.05}{2\times2\times0.04}=0.3125$ で、リスク回避度が小さいほど危険資産を多く持ちます。

同じ数値でも目的関数が $\mu_P-\dfrac{1}{2}\gamma\sigma_P^{2}$ で $\gamma=5$ なら $w^{*}=\dfrac{0.05}{5\times0.04}=0.25$ となり、ちょうど2倍になります。