一般化線形モデル（GLM）

損保数理・用語・料率算定・クラス料率

ひとことで言うと

目的変数(クレーム件数や損害額など)が正規分布に限らずポアソン分布やガンマ分布にも従えるようにし、複数のリスク要因の影響を1つの回帰式にまとめて表す料率算定モデル。対数リンクを使うと各要因の効果が掛け算（乗法型）になる。

線形予測子ηをリンク関数gで平均μに結びつける。対数リンクなら各要因の効果は掛け算になる。

g(\mu_i)=\sum_j \beta_j x_{ij},\qquad g(\mu)=\log\mu\ \Rightarrow\ \mu_i=\exp\!\Big(\sum_j \beta_j x_{ij}\Big)\ (\text{乗法型})

目的変数が指数型分布族（ポアソン・ガンマ・正規など）に従うとし、線形予測子 $\eta=\sum_j \beta_j x_j$ をリンク関数 $g(\mu)=\eta$

一般化線形モデル（GLM）では、線形予測子

$\eta=\sum_j \beta_j x_j$

をリンク関数 $g(\mu)=\eta$

対数リンクでは各要因の効果がexp(β)の掛け算になる

GLMで対数リンクを使うと、各要因の効果は係数の指数 $\exp(\beta)$ の掛け算（乗法型）として表れる（2017年度問題2、2019年度問題2、2021年度問題2、2023年度問題1）。

係数βは尤度方程式を解いて最尤推定する

GLMの係数 $\beta$ は、対数尤度を $\beta$ で偏微分して0とおいた尤度方程式を解いて最尤推定する（2017年度問題2、2019年度問題2、2021年度問題2）。

正規分布・恒等リンクのGLMは加法型Minimum Bias法と同じ連立方程式になる

分布に正規分布、リンク関数に恒等リンクを使うGLMは、加法型Minimum Bias法と同一の連立方程式になる（2024年度問題1）。

対数リンクのGLMで、基準クラスの係数 $\beta_0=\log100\approx4.605$ （基準クラスの期待値100に対応）、ある要因の係数が $\beta=0.2$ のとき、その要因を持つクラスの期待値は

$100\times e^{0.2}\approx100\times1.221=122.1$

対数リンクのGLMでは、係数βそのものは倍率ではない。指数をとったe^βが初めて乗法的な倍率になる。
GLMの分布族（ポアソン・ガンマ・正規など）とリンク関数の組み合わせは問題文の指定通りに使う必要がある。分布を変えると尤度方程式も変わる。
正規分布・恒等リンクのGLMは加法型Minimum Bias法と対応し、ポアソン・対数リンクのGLMは乗法型Minimum Bias法・Jung法と対応する。分布とリンクの組み合わせにより対応先が変わる。

対数リンクのGLMで基準クラスの期待値が50、ある要因の係数がβ=log(1.5)のとき、その要因を持つクラスの期待値に最も近いものはどれか。

GLMの係数βの推定方法として正しいものはどれか。

正規分布・恒等リンクのGLMに対応する手法として正しいものはどれか。