予定利率が期間で変わる保険

保険期間中で予定利率が段階的に変わる保険の純保険料・責任準備金。期間ごとの割引を分けて給付現価を評価する。

年払純保険料

支出現価・収入現価を「契約当初 $k$ 年間」と「$k$ 年経過後」に分けると、

$\text{支出現価}=A^{1}_{x:\angl{k}}(i)+v_{(i)}^{k}\,{}_kp_x\,A^{(j)}_{x+k}$

$\text{収入現価}=P\left(\ddot a^{(i)}_{x:\angl{k}}+v_{(i)}^{k}\,{}_kp_x\,\ddot a^{(j)}_{x+k:\angl{m-k}}\right)$

となり、収支相等の原則から $P$ が定まる。橋渡しの因子 $v_{(i)}^{k}\,{}_kp_x$ は $i$ 基準の据置現価 ${}_kE_x$ そのものである。予定死亡率は変更されないので ${}_kp_x$ は $i$ でも $j$ でも共通で、変わるのは割引だけである。

責任準備金（将来法）

$t=k$ のとき、以後は $j$ だけの世界になるので $i$ は一切現れない。

$_kV=A^{(j)}_{x+k}-P\,\ddot a^{(j)}_{x+k:\angl{m-k}}$

$t<k$ のときは、保険料計算とまったく同じ2段構えの形が $x+t$ 歳から始まる。

$_tV=\left(A^{1(i)}_{x+t:\angl{k-t}}+v_{(i)}^{k-t}\,{}_{k-t}p_{x+t}\,A^{(j)}_{x+k}\right)-P\left(\ddot a^{(i)}_{x+t:\angl{k-t}}+v_{(i)}^{k-t}\,{}_{k-t}p_{x+t}\,\ddot a^{(j)}_{x+k:\angl{m-k}}\right)$

後半の記号が $A^{(j)}_{x+k}$・$\ddot a^{(j)}_{x+k:\angl{m-k}}$ のまま動かない点に注意する。$t$ が動いても「$k$ 年経過後の世界」は同じであり、変わるのはそこへ届くまでの前半部分だけだからである。

期間の食い違い

終身保険でも払込は $m$ 年で切れるので、支出現価の後半は終身の $A^{(j)}_{x+k}$、収入現価の後半は残り払込期間の有期年金 $\ddot a^{(j)}_{x+k:\angl{m-k}}$ になる。期間をそろえないのが正しい。

後半のかたまりを現在へ引き戻すのに使う利率は、その区間を実際に割り引く前半の $i$ である。予定死亡率は変更対象外なので ${}_kp_x$ は $i$・$j$ で共通（2024年度問題3）。

死亡率一定の終身保険では $A=\dfrac{q}{q+i}$ となるので

$A^{(j)}_{x+10}=\dfrac{0.01}{0.01+0.01}=0.5$

前半の各記号は

$A^{1(i)}_{x:\angl{10}}=0.086031,\qquad \ddot a^{(i)}_{x:\angl{10}}=8.775118,\qquad v_{(i)}^{10}\,{}_{10}p_x=0.741908$

後半の年金は $\ddot a^{(j)}_{x+10:\angl{10}}=9.154373$。したがって

$\text{支出現価}=0.086031+0.741908\times0.5=0.456985$

$\text{収入現価}=P\left(8.775118+0.741908\times9.154373\right)=15.566823\,P$

$P=\dfrac{0.456985}{15.566823}=0.029356$

このとき $_{10}V=0.5-0.029356\times9.154373=0.231261$ となる。橋渡しを誤って $v_{(j)}^{10}$ にすると $P=0.030448$ となり、約 3.7% ずれる。