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予定利率の変更とは｜定義・公式とアクチュアリー試験の関連問題 | acpass
生保数理・公式・計算基礎率の変更・感応度
ひとことで言うと 予定利率は「保険料を運用でどれだけ増やせると見込むか」の率。これを上げると、将来の給付を強く割り引けるので、年金現価も一時払保険料も年払保険料も責任準備金も、そろって小さくなる。ただし「そろって小さくなる」ことの証明は見た目ほど簡単ではない——割引率 d 自体が動くので、予定死亡率の変更（SEI069）のようには恒等式一本で片付かない。
横軸が予定利率、縦軸が各種の値。年金現価、一時払純保険料、年払純保険料、責任準備金のいずれもが予定利率の増加に対して減少することを4本の右下がりの線で示した図。 年金現価 ä 一時払純保険料 A 年払純保険料 P 責任準備金 tV 予定利率 i 予定利率を上げると4つとも下がる 拡大 予定利率を引き上げると、年金現価・一時払純保険料・年払純保険料・責任準備金はいずれも小さくなる。
数式で表すと P x : n = 1 a ¨ x : n − d , d = i 1 + i P_{x:\angl{n}}=\dfrac{1}{\ddot a_{x:\angl{n}}}-d,\quad d=\dfrac{i}{1+i} P x : n = a ¨ x : n 1 − d , d = 1 + i i
予定利率を i i i から i ′ i' i ′ へ変更する と、割引率 v = 1 1 + i v=\dfrac{1}{1+i} v = 1 + i 1
試験に出る性質 予定利率を上げると、年金現価・一時払純保険料・年払純保険料・責任準備金はいずれも小さくなる
割引が強く効くため。2018年度問題2（3）は P 1 P^1 P 1 ・ P P P ・ t V {}_tV t V の予定利率依存の向きを（Ａ）〜（Ｇ）の複数選択で問う。数値例：40歳20年養老（ μ = 0.02 \mu=0.02 μ = 0.02
例で見る 設定 ：40歳加入・保険期間20年・保険金額1の養老保険、死力は年齢によらず μ = 0.02 \mu=0.02 μ = 0.02 。予定利率だけを 2 % 2\% 2% ・ 3 % 3\% 3% ・ 4 % 4\% 4% と変えて比較する。予定利率2%： a ¨ 40 : 20 = 14.066660 \ddot a_{40:\angl{20}}=14.066660 a ¨ 40 : 20 = 14.066660
つまずきポイント 予定利率を上げると保険料が下がる、という向きを逆に覚えない。割引が強くなる＝いま必要な原資が減る、と考える。 P = 1 a ¨ − d P=\dfrac{1}{\ddot a}-d P = a ¨ 1 − d の恒等式は、予定利率の変更では向きの判定に使えない（ d d d 定着クイズ Q1 40歳加入・保険期間20年の養老保険（死力一定）で、予定利率を 3 % 3\% 3% から 4 % 4\% 4% に引き上げると年払純保険料は 0.047760 0.047760 0.047760 から 0.044384 0.044384 0.044384 になった。この変化の説明として正しいものはどれか。
A. 約7%減少した。割引が強く効き、必要な原資が減るため B. 約7%増加した。予定利率が上がると保険会社の負担が増えるため C. ほとんど変化していない。分子と分母が同じだけ減るため D. 約30%減少した。年金現価の減少率と同じだけ減るため
Q2 予定利率だけを引き上げたとき（予定死亡率は不変）、年金現価 a ¨ x : n \ddot a_{x:\angl{n}} a ¨ x : n ・養老保険の一時払純保険料 A x : n A_{x:\angl{n}} A x : n ・生存保険 n E x {}_{n}E_x n E x の動く向きの組み合わせとして正しいものはどれか。
A. 3つとも小さくなる B. 3つとも大きくなる C. 年金現価だけ小さくなり、他の2つは大きくなる D. 生存保険だけ大きくなり、他の2つは小さくなる
Q3 予定利率を変更したとき、恒等式 P x : n = 1 a ¨ x : n − d P_{x:\angl{n}}=\dfrac{1}{\ddot a_{x:\angl{n}}}-d P x : n = a ¨ x : n 1 − d を使って年払純保険料の増減の向きを即断できない理由はどれか。
A. 予定利率が変わると ä だけでなく d も同時に変わるため B. この恒等式は養老保険では成り立たないため C. 予定利率が変わると保険期間 n も変わるため D. d は予定死亡率で決まる量なので予定利率とは無関係だから
。
を上げると
・
・
・
（
は
と
がともに増えるため恒等式だけでは向きが決まらない）
予定利率を変更したときの純保険料・年金現価・責任準備金の変化。変更前後の比・変化率を関係式から求める。
が変わるので、給付・保険料のすべての現価が変わる。押さえるべき向きは次のとおり（
を
上げた
とき）。
・年金現価 a ¨ x : n \ddot a_{x:\angl{n}} a ¨ x : n ： 減少 （各項の v t v^t v t が小さくなる）
・一時払純保険料 A x : n A_{x:\angl{n}} A x : n ・ A x : n 1 A^1_{x:\angl{n}} A x : n 1 ・ n E x {}_{n}E_x n E x ： 減少
・年払純保険料 P x : n P_{x:\angl{n}} P x : n ・ P x : n 1 P^1_{x:\angl{n}} P x : n 1 ： 減少
・責任準備金 t V {}_tV t V ： 減少
年払純保険料が減ることは、分子 A A A も分母 a ¨ \ddot a a ¨ も減るので 一目では分からない 。恒等式
P x : n = 1 a ¨ x : n − d , d = i 1 + i P_{x:\angl{n}}=\dfrac{1}{\ddot a_{x:\angl{n}}}-d,\qquad d=\dfrac{i}{1+i} P x : n = a ¨ x : n 1 − d , d = 1 + i i
を使っても、 i i i を上げると 1 a ¨ \dfrac{1}{\ddot a} a ¨ 1 も d d d も増えるので直ちには決まらない。実際には d d d の増え方が勝って P P P は減る。 予定死亡率の変更（SEI069）では d d d が動かないので恒等式だけで向きが決まるが、予定利率の変更ではそれができない ——この非対称が、両者を別概念として扱う理由である。
① 逆算型 ：変更前後の保険料や年金現価の関係が与えられ、変更後の予定利率 i ′ i' i ′ を求める。死力一定なら a ¨ x = 1 + i μ + i \ddot a_x=\dfrac{1+i}{\mu+i} a ¨ x = μ + i 1 + i のような閉じた式が使えるので、これを i i i について解く。
② 大小関係型 ：予定利率の大小に対して a ¨ \ddot a a ¨ ・ P P P ・ P 1 P^1 P 1 ・ t V {}_tV t V がどちらに動くかを複数選択で問う。
なお 予定利率と予定死亡率を同時に変更する 出題もある。この場合は片方の効果で他方を打ち消す形（「純保険料が変わらないように利率を変える」等）が定番で、変更前後の差を 0 0 0 と置いた方程式を解く。
）で
を3%から4%に上げると
は0.047760→0.044384（約7%減）、
は0.378578→0.356129 に下がる。
年払純保険料の向きは恒等式だけでは決まらない
P x : n = 1 a ¨ x : n − d P_{x:\angl{n}}=\dfrac{1}{\ddot a_{x:\angl{n}}}-d P x : n = a ¨ x : n 1 − d で i i i を上げると 1 a ¨ \dfrac{1}{\ddot a} a ¨ 1 も d d d も増える。 d d d の増加が勝って P P P は減るが、これは計算して初めて分かる。予定死亡率の変更（SEI069）では d d d が固定なので恒等式一本で決まる——この違いを取り違えない。
逆算型では死力一定の閉じた式を使う
死力が年齢によらず一定なら a ¨ x = 1 + i μ + i \ddot a_x=\dfrac{1+i}{\mu+i} a ¨ x = μ + i 1 + i のように i i i の初等関数で書ける。変更前後の比や変化率が与えられたらこれを i i i について解く（2016年度問題1（5）は Δ P / P \Delta P/P Δ P / P と Δ a ¨ / a ¨ \Delta \ddot a/\ddot a Δ a ¨ / a ¨ から変更後の i ′ i' i ′ を求めさせる）。
予定利率と予定死亡率を同時に変更する出題では、差を0と置く
「予定死亡率の変更に対して純保険料が変わらないように予定利率を変える」型が定番（2017年度問題2（3））。2021年度問題2（3）は i → i ( 1 + ε ) − ε i\to i(1+\varepsilon)-\varepsilon i → i ( 1 + ε ) − ε 、 q → q ( 1 + ε ) − ε q\to q(1+\varepsilon)-\varepsilon q → q ( 1 + ε ) − ε という同時変更で Δ P = 0.00034 \Delta P=0.00034 Δ P = 0.00034 から変更後の予定利率を求めさせる。
、
A 40 : 20 = 0.724183 A_{40:\angl{20}}=0.724183 A 40 : 20 = 0.724183 、
20 E 40 = 0.451106 {}_{20}E_{40}=0.451106 20 E 40 = 0.451106 、
P = 0.051482 P=0.051482 P = 0.051482 、
10 V = 0.401787 {}_{10}V=0.401787 10 V = 0.401787
予定利率3%： a ¨ = 13.006197 \ddot a=13.006197 a ¨ = 13.006197 、 A = 0.621179 A=0.621179 A = 0.621179 、 20 E 40 = 0.371140 {}_{20}E_{40}=0.371140 20 E 40 = 0.371140 、 P = 0.047760 P=0.047760 P = 0.047760 、 10 V = 0.378578 {}_{10}V=0.378578 10 V = 0.378578
予定利率4%： a ¨ = 12.070600 \ddot a=12.070600 a ¨ = 12.070600 、 A = 0.535746 A=0.535746 A = 0.535746 、 20 E 40 = 0.305925 {}_{20}E_{40}=0.305925 20 E 40 = 0.305925 、 P = 0.044384 P=0.044384 P = 0.044384 、 10 V = 0.356129 {}_{10}V=0.356129 10 V = 0.356129
(1) すべて単調減少 している。年払純保険料の変化率は 3 % → 4 % 3\%\to4\% 3% → 4% で
0.044384 − 0.047760 0.047760 = − 7.07 % \dfrac{0.044384-0.047760}{0.047760}=-7.07\% 0.047760 0.044384 − 0.047760 = − 7.07%
で、 予定利率を1ポイント上げると保険料は約7%下がる 。
(2) 恒等式の確認 ： i = 3 % i=3\% i = 3% のとき d = 0.03 1.03 = 0.029126 d=\dfrac{0.03}{1.03}=0.029126 d = 1.03 0.03 = 0.029126 で
1 13.006197 − 0.029126 = 0.076886 − 0.029126 = 0.047760 \dfrac{1}{13.006197}-0.029126=0.076886-0.029126=0.047760 13.006197 1 − 0.029126 = 0.076886 − 0.029126 = 0.047760
と P P P に一致する。 i = 4 % i=4\% i = 4% では 1 12.070600 = 0.082846 \dfrac{1}{12.070600}=0.082846 12.070600 1 = 0.082846 、 d = 0.038462 d=0.038462 d = 0.038462 で差は 0.044384 0.044384 0.044384 。 1 a ¨ \dfrac{1}{\ddot a} a ¨ 1 は 0.0060 0.0060 0.0060 増えたが d d d は 0.0093 0.0093 0.0093 増えており、 d d d の増加が勝って P P P が下がっている ことが数値で確認できる。
が同時に動くため）。使えるのは予定死亡率の変更のとき。
変更後の責任準備金は「変更後の予定利率で計算し直した将来法」で求める。変更前の t V {}_tV t V に何かを掛けて済ませない。
同時変更の問題では、どちらの変更を先に効かせるかで途中の値が変わる。最終的に立てるのは「変更前後の差＝与えられた値」という1本の方程式である。