予定死亡率の変更

予定死亡率を変更したときの保険料・責任準備金の変化。死亡率変更が危険保険料・準備金に与える影響を評価する。

ここで恒等式

$A_{x:\angl{n}}=1-d\,\ddot a_{x:\angl{n}},\qquad P_{x:\angl{n}}=\dfrac{1}{\ddot a_{x:\angl{n}}}-d$

を使う。予定利率は変えていないので$d$は定数である。したがって

・養老保険の一時払純保険料 $A_{x:\angl{n}}$ ：$\ddot a$が増える分だけ必ず減少 ・養老保険の年払純保険料 $P_{x:\angl{n}}$ ：$\dfrac{1}{\ddot a}$が減る分だけ必ず減少

さらに$A^1_{x:\angl{n}}=(1-d\,\ddot a)-{}_{n}E_x$ は右辺の両項が減る向きなので必ず減少、$P^1_{x:\angl{n}}=\dfrac{A^1}{\ddot a}$ は分子が減り分母が増えるので必ず減少である。

一方、生存保険の年払純保険料 $P_{x:\overset{1}{\angl{n}}}=\dfrac{{}_{n}E_x}{\ddot a_{x:\angl{n}}}$ は分子・分母がともに増えるので向きが決まらない（通常は増加する）。

記法の確認：肩の1を$x$の上に置けば定期保険（$A^1_{x:\angl{n}}$・$P^1_{x:\angl{n}}$）、$\angl{n}$の上に置けば生存保険（$A_{x:\overset{1}{\angl{n}}}$・$P_{x:\overset{1}{\angl{n}}}$）である。本試験でも同じ設問の中に両方が並ぶので、位置で読み分ける。

この判定をそのまま問うのが2022年度問題2（2）で、正解は（Ｂ）$A_{x:\angl{n}}$・（Ｃ）$A^1_{x:\angl{n}}$・（Ｄ）$P_{x:\angl{n}}$・（Ｆ）$P^1_{x:\angl{n}}$ の4つである。

責任準備金への影響は将来法 ${}_tV=A_{x+t:\angl{n-t}}-P\,\ddot a_{x+t:\angl{n-t}}$ を変更後の基礎率で計算し直して求める。初年度だけ死亡率が違うといった部分的な変更もあり、この場合は変更が及ぶ年度と及ばない年度を分けて年金現価を作り直す。

年金現価 $\ddot a$ と生存保険 ${}_{n}E_x$ は増加し、生存保険の年払純保険料 $P_{x:\overset{1}{\angl{n}}}$ は分子分母がともに増えるため向きが決まらない。2022年度問題2（2）はこの6つを並べて「必ず値が小さくなるものをすべて選べ」と問う（正解は（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）（Ｆ））。

$\ddot a_{40:\angl{20}}$：13.006197 → 13.534150（増加）

$A_{40:\angl{20}}$：0.621179 → 0.605801（減少）

$A^1_{40:\angl{20}}$：0.250039 → 0.195628（減少）

${}_{20}E_{40}$：0.371140 → 0.410173（増加）

$P_{40:\angl{20}}$：0.047760 → 0.044761（減少）

$P^1_{40:\angl{20}}$（定期保険）：0.019225 → 0.014454（減少）

$P_{40:\overset{1}{\angl{20}}}$（生存保険）：0.028536 → 0.030307（増加）

(1) 恒等式での確認：$d=\dfrac{0.03}{1.03}=0.029126$は変わらない。

$1-d\times13.534150=1-0.394199=0.605801$

が$\mu=0.015$の$A$に一致する。$\ddot a$が増えた分だけ$A$が減るという関係が数値で見える。

(2) 年払純保険料：$\dfrac{1}{13.534150}-0.029126=0.073887-0.029126=0.044761$。$d$が動かないので、$\ddot a$の増加がそのまま$P$の減少になる。

(3) 生存保険の保険料だけ増える：$\dfrac{0.410173}{13.534150}=0.030307$で、$\mu=0.02$のときの$0.028536$より大きい。分子の${}_{20}E_{40}$が$10.5\%$増えたのに対し分母の$\ddot a$は$4.1\%$しか増えていないためである。