予定利率の感応度（微分）

予定利率の微小変化に対する保険料・責任準備金の感応度。利率で微分して近似変化を求め、金利リスクの評価に用いる。

である。これを各定義式に代入して項別に微分すればよい。

① 年金現価：$\ddot a_{x:\angl{n}}=\displaystyle\sum_{t=0}^{n-1}v^t\,{}_tp_x$ より

$\dfrac{d\ddot a_{x:\angl{n}}}{di}=-v\displaystyle\sum_{t=0}^{n-1}t\,v^{t}\,{}_tp_x=-v\left[(I\ddot a)_{x:\angl{n}}-\ddot a_{x:\angl{n}}\right]$

（$(I\ddot a)_{x:\angl{n}}=\sum_{t=0}^{n-1}(t+1)v^t{}_tp_x$ を使った。$t$ではなく$t+1$から始まる定義なので$\ddot a$を引く補正が入る。）

② 一時払純保険料：$A_x=\displaystyle\sum_{t\ge0}v^{t+1}\,{}_tp_x\,q_{x+t}$ より

$\dfrac{dA_x}{di}=-v\displaystyle\sum_{t\ge0}(t+1)v^{t+1}{}_tp_xq_{x+t}=-v\,(IA)_x=-\dfrac{(IA)_x}{1+i}$

累加型の一時払純保険料がそのまま現れ、$\dfrac{1}{1+i}$倍が付くのが特徴である。定期保険$A^1_{x:\angl{n}}$も同じ形になる。

③ 年払純保険料：$P=\dfrac{A}{\ddot a}$ に商の微分を適用して

$\dfrac{dP}{di}=\dfrac{1}{\ddot a}\dfrac{dA}{di}-\dfrac{A}{\ddot a^{2}}\dfrac{d\ddot a}{di}$

である。①②を代入すれば$(IA)$と$(I\ddot a)$だけで書ける。

④ 近似計算：予定利率を$i$から$i+\Delta i$へ変えたときの保険料変化は

$\Delta P \approx \dfrac{dP}{di}\,\Delta i$

で見積もる。これは接線による1次近似なので、$\Delta i$が大きいほど誤差が広がる。試験は$0.1\%$程度の変更幅（例：$1.5\%\to1.6\%$）で出題され、この範囲なら誤差は1%未満に収まる。

責任準備金${}_tV=A_{x+t:\angl{n-t}}-P\,\ddot a_{x+t:\angl{n-t}}$ の感応度も同じ道具立てで、$P$が$i$に依存することを忘れずに積の微分を使う。

$v^{t+1}$ を微分すると $-(t+1)v^{t+2}$ になり、$(t+1)$ の重みが付いた和＝$(IA)_x$ に $v$ が1つ余る。2025年度問題2（4）は終身保険の $\dfrac{d}{di}A_x$ を表す式を選ばせる問題で、この形をそのまま知っているかが問われる。

$A_{40:\angl{20}}=0.621179,\quad P=0.047760$

また、$A$の微分に現れる累加型の和（満期給付を$n$倍して加えたもの）は$9.642794$である。

(2) 各微分（$v=\dfrac{1}{1.03}=0.970874$）

$\dfrac{d\ddot a}{di}=-0.970874\times(115.476830-13.006197)=-99.486052$

$\dfrac{dA}{di}=-0.970874\times9.642794=-9.361936$

いずれも数値微分（中心差分）と小数第6位まで一致する。

(3) 年払純保険料の感応度

$\dfrac{dP}{di}=\dfrac{-9.361936}{13.006197}-\dfrac{0.621179\times(-99.486052)}{13.006197^{2}}=-0.719805+0.365323=-0.354482$

(4) 近似の精度$\Delta i=+0.1\%$：近似 $-0.00035448$、実際 $-0.00035276$、誤差率 0.49%

$\Delta i=+1.0\%$：近似 $-0.00354482$、実際 $-0.00337580$、誤差率 5.01%

試験が扱う$0.1$ポイント程度の変更なら1次近似で十分な精度が出る。