死力・利力変化の感応度

死力・利力の微小変化に対する保険料・準備金の感応度。基礎率の変化を微分で捉え、近似的な変化量を評価する。

つまり $c$ の加算は、$v^t$ を $e^{-ct}v^t$ に置き換えるのと同じである。年金現価は

$\ddot a^{(c)}_{x:\angl{n}}=\sum_{t=0}^{n-1}v^t e^{-ct}\,{}_tp_x$

となり、これを $c$ で微分して $c=0$ とおくと

$\left.\frac{d}{dc}\ddot a^{(c)}_{x:\angl{n}}\right|_{c=0}=-\sum_{t=1}^{n-1}t\,v^t\,{}_tp_x=-(Ia)_{x:\angl{n-1}}$

期間が $n$ ではなく $n-1$ になるのは、$t=0$ の項に $t$ が掛かって消えるためである。養老保険の一時払純保険料は $A_{x:\angl{n}}=1-d\,\ddot a_{x:\angl{n}}$ なので、死力加算 $c$ の関数として

$f(c)=1-d\,\ddot a^{(c)}_{x:\angl{n}}\ ,\qquad f'(0)=d\,(Ia)_{x:\angl{n-1}}$

が得られる。

死力が年齢によらず一定のとき

このときは $v^t\,{}_tp_x=e^{-(\delta+\mu)t}$ となるので

$\ddot a_{x:\angl{n}}=\frac{1-e^{-(\delta+\mu)n}}{1-e^{-(\delta+\mu)}}$

となり、年金現価は $\delta+\mu$ の和だけで決まる。したがって「利力に $c$ を足す」場合と「死力に $c$ を足す」場合で年金現価は完全に一致する。

一方、養老保険の年払純保険料は $P=\dfrac{1}{\ddot a_{x:\angl{n}}}-d$ であり、$d=1-e^{-\delta}$ は利力だけで決まる。第1項が一致するので、差は $d$ の差だけになる。利力に $c$ を足したものを $P_A$、死力に $c$ を足したものを $P_B$ とすると

$P_B-P_A=d_A-d_B=e^{-\delta}-e^{-(\delta+c)}=v\left(1-e^{-c}\right)$

となり、生命表も年齢も期間も一切効かない。

とする。死力一定なので年金現価は $\delta+\mu$ の和だけで決まり、どちらの場合も和が 0.005 増えるだけなので $\ddot a$ は完全に一致する。したがって

$P_B-P_A=d_A-d_B=e^{-\delta}-e^{-(\delta+0.005)}=v\left(1-e^{-0.005}\right)$

$=\dfrac{1}{1.02}\times0.0049875=0.0048897$

となる。年齢・期間・生命表の中身は一切使わずに答が出る点が、この型の特徴である。