二項モデル（多期間・アメリカン）

投資理論・定理・デリバティブ評価理論

ひとことで言うと

多期間では満期から現在へ向けて後向き帰納を繰り返す。アメリカン・オプションは各ノードで「今すぐ行使する価値」と「継続して保持する価値」を比較し大きい方を選ぶ。無配当株のアメリカン・コールは早期行使しない（欧州コールと同価値）。

2 期間二項ツリー。後向き帰納では $t=2$ の満期ペイオフ → $t=1$ の各ノード → $t=0$ の順で計算。アメリカン・オプションは各ノードで早期行使価値と継続価値を比較。

V_n = \max(\text{早期行使価値},\; \frac{q V_{n+1,u} + (1-q) V_{n+1,d}}{1+r_f})

多期間二項モデルの後向き帰納： ① $t=n$ （満期）の各ノードでペイオフを計算。 ② $t=n-1$ の各ノードで： $V = \frac{q V_{u} + (1-q) V_{d}}{1+r_f}$

ヨーロピアンとアメリカンのプットを並べて出す

同一の2期間ツリーで『ヨーロピアン・プット』と『アメリカン・プット』の価格を続けて問い、早期行使価値のぶん後者が高くなる（またはならない）ことを確認させる（2023問16(1)ア・イ、2016問14(4)）。各ノードで継続価値と $K-S$ を比較。

無配当株のアメリカン・コールは早期行使しない（正誤）

『アメリカン・コールが大きくITMなら早期行使する方が有利』は無配当株では誤り（2022問16(3)D）。無配当ならアメリカン・コール＝ヨーロピアン・コール。プットは逆で早期行使が最適になりうる。

非再結合・期間可変ツリーに注意

過去問のツリーは上昇枝と下降枝で u・d が異なる非再結合型（2016・2024）や、期間ごとに $r_f$

2 期間、 $q = 0.6$ 、 $r_f = 5\%$ （1 期間）。満期ノード： $C_{uu} = 21$

多期間二項モデルでオプション価格を求める手順として正しいものはどれか。

無配当株に対するアメリカン・コールについて正しいものはどれか。

アメリカン・プットで早期行使が有利になりうるケースとして最も適切なものはどれか。