プット・コール・パリティ

投資理論・定理

ひとことで言うと

欧州コール・プット・原資産・無リスク債の 4 つの価格に成立する無裁定条件。「コール買い＋プット売り $=$ フォワード」という直感から自然に導かれる。片方の価格がわかれば他方が計算できる。

コール買い（緑）＋プット売り（赤茶破線）のペイオフを合成するとフォワード（青破線）になる。これがプット・コール・パリティの直感的説明。

$C_0 - P_0 = S_0 - \frac{K}{(1+r_f)^T}$

欧州コール・プット・原資産・無リスク債の価格関係。C₀ − P₀ = S₀ − K/(1+rₓ)^T。一方が与えられたら他方を計算できる。

プット・コール・パリティ（欧州オプション）：

C_0 - P_0 = S_0 - \frac{K}{(1+r_f)^T}

または：

C_0 + \frac{K}{(1+r_f)^T} = P_0 + S_0

左辺：コール買い＋

K

の現在価値を安全資産で保有。右辺：プット買い＋原資産保有。どちらも満期に

\max(S_T, K)

と等価であることから成立（無裁定）。導出の別解：コール買い＋プット売り

=

ロング・フォワード

(= S_T - K)

のペイオフ

\Rightarrow

C - P = S_0 - K/(1+r_f)^T

（フォワードの現在価値）。

コール価格からプット価格を求める

$P_0 = C_0 - S_0 + K/(1+r_f)^T$ 。市場でコール価格がわかれば、同一条件のプット価格を無裁定で計算できる。

合成ポジション

「プット買い＋原資産保有」 $=$ プロテクティブ・プット $=$ コール買い＋現金 $(K/(1+r_f)^T)$ （合成コール）。さまざまな合成が可能。

アメリカン・オプションではパリティは成立しない

早期行使の可能性があるため等式ではなく不等式（境界条件）になる。 $C_{Am} - P_{Am} \leq S_0 - K/(1+r_f)^T$ 等。

$S_0 = 100$ 、 $K = 100$ 、 $r_f = 5\%$ （年率）、 $T = 1$ 、 $C_0 = 10$ のとき： $P_0 = C_0 - S_0 + K/(1+r_f)^T = 10 - 100 + 100/1.05 = 10 - 100 + 95.24 = 5.24$

$K/(1+r_f)^T$ は行使価格の現在価値（ $K$ を割り引く）。 $K$ そのものを使わない。満期まで無リスク運用すれば $K$ が手元に残るという発想。
プット・コール・パリティは欧州オプション専用。アメリカン・オプションには（早期行使があるため）そのまま適用できない。

$S_0=100$ 、 $K=105$ 、 $r_f=4\%$ （1 年）、 $C_0=8$ のとき、プット・コール・パリティによる $P_0$ はいくらか（小数第 2 位まで）。

プット・コール・パリティ $C_0 - P_0 = S_0 - K/(1+r_f)^T$ の右辺 $S_0 - K/(1+r_f)^T$ は何を意味するか。

プット・コール・パリティが直接適用できないケースはどれか。