ブラック・ショールズ式

投資理論・公式

ひとことで言うと

株価が対数正規分布に従うと仮定した連続時間モデルで欧州コールを価格付けする公式。 $N(d_2)$ はリスク中立測度での行使確率、 $N(d_1)$ はデルタに等しい。ボラティリティ $\sigma$ が大きいほどコール価格は高い。

コールオプション価格（緑）とデルタ（赤茶破線）の変化。デルタは ATM（ $S=K=100$ ）付近で約 0.5。深い ITM でデルタ→1（株と同じ動き）、深い OTM でデルタ→0。

数式で表すと

$C = S_0 N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$ , $d_1 = \frac{\ln(S_0/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$ , $d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$

連続時間・対数正規モデルでの欧州コール価格。C = S₀N(d₁) − Ke^{−rT}N(d₂)。N(d₂) はリスク中立測度での行使確率。

ブラック・ショールズ式（欧州コール）：

C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)

d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}

ここで

N(\cdot)

：標準正規分布の累積分布関数、

\sigma

：株価収益率のボラティリティ、

r

：連続複利の無リスク利子率。欧州プット：

P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1)

（プット・コール・パリティから導出）。

N(d_2)

：リスク中立測度での行使確率（

S_T > K

になる確率）。

S_0 N(d_1)

：行使時の原資産受取分の現在価値。

試験に出る性質

ボラティリティ $\sigma$ が上がるとオプション価値も上がる

コール・プット両方において $\sigma \uparrow \Rightarrow C, P \uparrow$ （ベガ $\nu > 0$ ）。株価の振れ幅が大きいほど行使できる可能性が上がり、ペイオフの期待値が増える。

インプライド・ボラティリティ

市場のオプション価格を B-S 式に逆代入して求めた $\sigma$ 。市場参加者の「将来の変動率」の期待を反映。ボラティリティ・スマイル（行使価格によって異なる）が実務では観察される。

B-S 式の前提条件

①株価は幾何ブラウン運動（対数正規分布）に従う、②ボラティリティ $\sigma$ は一定、③連続取引可能・取引コストなし、④配当なし。現実には②③④が成立しない。

例で見る

$S_0 = 100$ 、 $K = 100$ 、 $r = 5\%$ （連続）、 $\sigma = 25\%$ 、 $T = 1$ 年： $d_1 = [\ln(1) + (0.05 + 0.03125) \times 1]/(0.25) = 0.08125/0.25 = 0.325$ $d_2 = 0.325 - 0.25 = 0.075$ $N(0.325) \approx 0.627$ 、 $N(0.075) \approx 0.530$ $C = 100 \times 0.627 - 100 \times e^{-0.05} \times 0.530 = 62.7 - 95.12 \times 0.530 \approx 12.4$

つまずきポイント

B-S 式の $r$ は連続複利。試験では「無リスク利子率 5%」と書いてあっても、文脈によって $e^{-rT}$ を使う連続複利か $(1+r)^T$ を使う離散複利かを確認する。
$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$ 。 $d_2 = d_1 + \sigma\sqrt{T}$ と逆にしない。

定着クイズ

ブラック・ショールズ式で、ボラティリティ $\sigma$ が上昇したとき、欧州コールとプットの価格はどうなるか。

ブラック・ショールズ式の $N(d_2)$ が表す意味はどれか。

ブラック・ショールズ式の前提として誤っているものはどれか。