リスク中立確率

知識マップ

投資理論・用語

ひとことで言うと

状態価格を $(1+r_f)$ 倍して「確率」の形に正規化したもの。この仮想の確率のもとでは、すべての資産の期待収益率がちょうど無リスク利子率に等しくなる——だから「リスク中立」確率という。

リスク中立確率 q のもとでは、株式の期待収益率が無リスク利子率 r_f に等しくなる。q は実際の上昇確率ではなく、無裁定条件を満たす仮想の確率。

数式で表すと

$P_0 = \frac{1}{1+r_f} \sum_s q_s C_s = \frac{E^Q[C]}{1+r_f}$

状態価格を (1+rₓ) 倍したもの q_s = ψ_s(1+rₓ)。Σq_s=1 かつ q_s>0。リスク中立測度のもとでの「確率」として資産価格を計算できる。

状態価格

\psi_s

からリスク中立確率

q_s = (1+r_f) \psi_s

を定義すると

\sum_s q_s = (1+r_f) \sum_s \psi_s = 1

（

q_s > 0

）となり、

\{q_s\}

は確率の公理を満たす。任意の資産の現在価格は

P_0 = \frac{1}{1+r_f} \sum_s q_s C_s = \frac{E^Q[C]}{1+r_f}

と表せる（

E^Q

はリスク中立確率のもとでの期待値）。これは「将来のペイオフをリスク中立確率で期待値を取り、無リスク利子率で割り引く」だけで価格が計算できることを示す。 2 状態モデルでは

q_u = [(1+r_f) - d]/(u-d)

（

u

：上昇倍率、

d

：下落倍率）。

試験に出る性質

リスク中立確率 $\neq$ 実際の確率

実際に株価が上昇する客観的確率ではなく、無裁定を成立させる仮想の確率。リスクが存在しないと仮定した架空の世界での確率。

資産価格 $= E^Q[\text{ペイオフ}] / (1+r_f)$

リスク中立確率のもとで期待値を計算して無リスク利子率で割り引くだけで任意の資産価格が出る。オプション価格付けの基本テクニック。

q は $r_f$・$u$・$d$ のみで決まる

実際の発生確率は不要。モデルのパラメータ（u・d・ $r_f$ ）だけからリスク中立確率が一意に計算できる。

例で見る

$r_f=5\%$ （1 期間）、上昇倍率 $u=1.1$ 、下落倍率 $d=0.9$ のとき： $q_u = (1.05 - 0.9)/(1.1 - 0.9) = 0.15/0.20 = 0.75$ 、 $q_d = 1 - 0.75 = 0.25$ 。行使価格 $K=100$ 、上昇時価格 $S_u=110$ でコールのペイオフ $C_u=10$ 、下落時 $C_d=0$ のとき、コール価格 $= (0.75 \times 10 + 0.25 \times 0) / 1.05 \approx 7.14$ 。

つまずきポイント

リスク中立確率 $q$ は実際の株価上昇確率ではない。たとえば現実の上昇確率が 60% でも、 $q$ が 75% になることは普通にある。
$q = [(1+r_f)-d]/(u-d)$ で $u$ 、 $d$ は「倍率」（例：上昇 10% → $u=1.1$ ）であって「収益率」（10%）ではない。代入時に注意。

定着クイズ

上昇倍率 $u=1.2$ 、下落倍率 $d=0.8$ 、1 期間無リスク利子率 $r_f=4\%$ のとき、リスク中立確率 $q_u$ はいくらか。

リスク中立確率について正しい記述はどれか。

$q_u=0.6$ 、 $q_d=0.4$ 、上昇時コールのペイオフ $C_u=15$ 、下落時 $C_d=0$ 、 $r_f=5\%$ のとき、コールの現在価格はいくらか（小数第 1 位まで）。