状態価格（アロー・デブリュー価格）

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投資理論・用語

ひとことで言うと

「将来のある状態でのみ 1 円を受け取れる仮想の証券」の現在価格が状態価格（アロー＝デブリュー価格）。あらゆる資産の価格はこの状態価格の組み合わせで表せる。

2 状態モデル。各状態の状態価格 $\psi_s$ は「その状態でのみ 1 円もらえる証券の現在価格」。資産価格は各状態での収益にそれぞれの状態価格を掛けて足した値。

数式で表すと

$P_0 = \sum_s \psi_s C_s$ （ $C_s$ ：状態 $s$ でのペイオフ）

「状態 s だけで 1 単位の収益を生む証券（状態条件付請求権）」の現在価格 ψ_s。資産価格は P₀ = Σ_s ψ_s C_s と表せる。

2 状態（上昇 u・下落 d）のモデルで、「状態 u でのみ 1 円、状態 d では 0 円」を支払う証券の現在価格を

\psi_u

、「状態 d でのみ 1 円、状態 u では 0 円」を支払う証券の現在価格を

\psi_d

とする。これらが状態価格（アロー＝デブリュー価格）。任意の資産のペイオフ

(C_u, C_d)

に対して、現在価格は

P_0 = \psi_u C_u + \psi_d C_d

と表せる。これは「各状態の収益に状態価格を掛けて足す」という単純な計算で完全な価格付けができることを示す。

\psi_u + \psi_d < 1/(1+r_f)

ではなく、

\psi_u + \psi_d = 1/(1+r_f)

（無裁定が成立するとき）となる。

試験に出る性質

状態価格は確率ではない

$\psi_s > 0$ だが、 $\sum_s \psi_s$ は一般に 1 ではない（ $= 1/(1+r_f) < 1$ ）。リスクプレミアムが反映されている。

完備市場では状態価格が一意に存在

資産の数 ≥ 状態の数（完備市場）のとき、状態価格は一意に決まる。不完備市場では複数の整合的な状態価格が存在しうる。

リスク中立確率との関係

$q_s = \psi_s (1+r_f)$ とすれば $\sum_s q_s = 1$ （ $q_s > 0$ ）となり、リスク中立確率が得られる。

例で見る

2 状態モデルで現在株価 $S_0=100$ 、上昇時 $S_u=110$ 、下落時 $S_d=90$ 、無リスク資産 $(100 \to 102)$ があるとき： $\psi_u \cdot 110 + \psi_d \cdot 90 = 100$ 、 $\psi_u \cdot 102 + \psi_d \cdot 102 = 100$ （無リスク資産の価格付け）より $\psi_u + \psi_d = 100/102$ 、連立方程式を解くと $\psi_u \approx 0.588$ 、 $\psi_d \approx 0.392$ 。

つまずきポイント

状態価格 $\psi_s$ は「状態 s での確率」ではない。状態 s が起こりやすい（確率が高い）ほど $\psi_s$ は大きくなる傾向があるが、リスクプレミアムも反映されるため確率そのものではない。
状態価格の合計 $\sum \psi_s = 1/(1+r_f) \neq 1$ 。これがリスク中立確率の合計（= 1）と異なる理由。

定着クイズ

状態価格（アロー＝デブリュー価格）の説明として正しいものはどれか。

状態価格 $\psi_u=0.5$ 、 $\psi_d=0.4$ のとき、上昇時ペイオフ $C_u=20$ ・下落時ペイオフ $C_d=5$ の資産の現在価格はいくらか。

無裁定が成立するとき、状態価格の合計 $\psi_u + \psi_d$ の値は何に等しいか（ $r_f$ ：1 期間無リスク利子率）。