全確率

確率・定理

ひとことで言うと

「結果Dが起きる確率を、その原因をいくつかの排反なケースに場合分けして、各ケースごとの確率を足し合わせて求める」公式です。遠回りに見えて、直接求めにくい確率を計算する王道です。

標本空間を排反な原因 $H_1,H_2,H_3$ に分割した帯。各原因の中でDが占める割合（濃い部分）を、その原因の確率 $P(H_i)$ で重みづけて足すと $P(D)$ になる。

$P(D)=\sum_i P(D\mid H_i)P(H_i)$

排反な原因で場合分けして周辺確率を求める公式。ベイズの分母。

全確率の公式は、標本空間を互いに排反で全体を覆い尽くす原因

H_1,\dots,H_n

（分割）に分けたとき

P(D)=\sum_i P(D\mid H_i)P(H_i)

で

D

の確率を組み立てます。直感は「Dが起きるすべての経路を、原因ごとに分けて足し上げる」こと。各項

P(D\mid H_i)P(H_i)

は乗法定理

P(D\cap H_i)

そのもので、排反な

D\cap H_i

を全部足せば

P(D)

になる、という当たり前の足し算です。前提として、分割

\{H_i\}

は「漏れなく（全体を覆う）・重なりなく（互いに排反）」でなければなりません。ここが崩れると二重計上や数え落としが起き、確率の合計が1からズレます。全確率の公式はベイズの定理の分母そのものです。ベイズで

P(H_i\mid D)

を求めるとき、分母

P(D)

をこの公式で計算して正規化します。つまり全確率は「原因→結果」の順方向に確率を組み立てる式で、ベイズはそれを「結果→原因」に逆算する式、という表裏の関係にあります。

公式

$P(D)=\sum_i P(D\mid H_i)P(H_i)$ 。原因ごとの経路を足し合わせる。

分割の条件

$\{H_i\}$ は排反（重なりなし）かつ網羅的（合計で全体）でなければならない。

乗法定理が各項

各項 $P(D\mid H_i)P(H_i)=P(D\cap H_i)$ 。排反な同時確率の和。

ベイズの分母

ベイズの定理 $P(H_i\mid D)=P(D\mid H_i)P(H_i)/P(D)$ の分母 $P(D)$ がこの公式。

2分割の基本形

$P(D)=P(D\mid H)P(H)+P(D\mid H^c)P(H^c)$ 。原因がある/ないの2択が最頻出。

2つの工場 $H_1$ （生産40%・不良率2%）と $H_2$ （生産60%・不良率5%）から製品が来る。製品が不良 $D$ である確率は $P(D)=0.02\times0.4+0.05\times0.6=0.008+0.030=0.038$ 。全体の不良率は約3.8%。

全確率の公式 $P(D)=\sum_i P(D\mid H_i)P(H_i)$ で、分割 $\{H_i\}$ に必要な条件は？

工場H₁(確率0.4,不良率0.02)とH₂(確率0.6,不良率0.05)から来る製品の全体の不良率P(D)は？

全確率の公式はどの定理の分母として現れる？