包除原理

3事象に一般化すると、符号が交互に切り替わるのが特徴です。 $P(A\cup B\cup C)=\sum P(A_i)-\sum P(A_i\cap A_j)+P(A\cap B\cap C)$ つまり「単独3つを足す→2つずつの重なり3組を引く→3つ全部の重なりを足し戻す」となります。2つ重なりを引きすぎた分を、3つ重なりで一度足し戻して帳尻を合わせる、という構造です。一般に $n$ 事象でも、奇数個の重なりは足し、偶数個の重なりは引く、と符号が交替します。

アクチュアリー試験で頻出の応用がマッチング問題です。3通の手紙をランダムに3つの宛名入り封筒に入れるとき、「少なくとも1通が正しい封筒に入る」確率を求めます。$A_i=$「$i$ 番目の手紙が正しい封筒に入る」とすると、$P(A_i)=1/3$（各 $i$）です。2つの重なり $P(A_i\cap A_j)$ は、$i,j$ の2通を正しい場所に固定すると残り1通も自動的に正しい場所しかないので、$P(A_i\cap A_j)=1/(3\times2)=1/6$。3つの重なり $P(A_1\cap A_2\cap A_3)$ は全通り正しい1通りなので $1/3!=1/6$ です。包除原理に入れると $P(\text{少なくとも1通正解})=3\times\tfrac13-3\times\tfrac16+\tfrac16=1-0.5+0.1667=\tfrac23$ です。直接数えても確認できます。$3!=6$ 通りの並べ方のうち、完全に間違っている（どの手紙も正しくない＝完全順列・撹乱順列）のは2通り（3-サイクル2つ）なので、少なくとも1つ正解は $6-2=4$ 通り、$P=4/6=2/3$ と一致します。包除原理が確かに正しい答えを与えていることが分かります。

3事象（手紙のマッチング）：$P(A_i)=1/3$、$P(A_i\cap A_j)=1/6$、$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=1/6$ より

$P(\text{少なくとも1通正解})=3\cdot\tfrac13-3\cdot\tfrac16+\tfrac16=\tfrac23$。直接数え（$4/6$）と一致。