包除原理

確率・公式

ひとことで言うと

「AまたはB」の事象が起きる確率は、AとBをそれぞれ数えて足すとAとBの両方を2回数えてしまいます。それを1回分引いて正確にするのが包除原理です。3事象以上になっても同じ考え方が繰り返されます。

2つの円 $A$ , $B$ が重なるベン図。 $P(A)=0.5$ 、 $P(B)=0.4$ 、 $P(A\cap B)=0.2$ のとき和集合は $P(A\cup B)=0.5+0.4-0.2=0.7$ 。足して引くと交差部分の二重カウントが解消される。

数式で表すと

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

和事象の確率を重複を引いて求める。 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 。

包除原理とは「和事象の確率を重複なく数える」公式です。2事象では

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

P(A)

と

P(B)

を足すと交差部分

A\cap B

を2回カウントするので1回分引きます。具体的に

P(A)=0.5,\ P(B)=0.4,\ P(A\cap B)=0.2

なら

P(A\cup B)=0.5+0.4-0.2=0.7

。独立（concept: 独立性）なら

P(A\cap B)=P(A)P(B)=0.2

は独立から来る値と一致することも確認できます。3事象以上では

P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)

「1項ずつ足す→2項交差を引く→3項交差を足す」という符号の交互パターンが続きます。

n

事象の一般形では

(-1)^{k+1}

の符号で

k

個の交差確率をすべて足し合わせます。余事象（concept: 余事象）との組み合わせでも使われ、「少なくとも1つ発生する」確率を「1から全て発生しない確率を引く」形で求めることもあります。余事象と包除を両方覚えておくと、どちらの方向から計算するかで答えやすい方を選べます。

試験に出る性質

2事象

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 。交差部分を1回引いて二重カウントを解消。

3事象

$P(A\cup B\cup C)=\sum P-\sum P(\cap 2)+P(A\cap B\cap C)$ 。足す→引く→足すの交互パターン。

一般n事象

$(-1)^{k+1}$ の符号で $k$ 個の交差確率を合算。奇数個の交差は足し、偶数個は引く。

余事象との組み合わせ

「少なくとも1つ」は $1-P(\text{全て起きない})$ 。包除より計算が楽なことがある。

独立時の交差確率

独立なら $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 。包除式に代入すると $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$ 。

例で見る

$P(A)=0.5,\ P(B)=0.4,\ P(A\cap B)=0.2$ のとき $P(A\cup B)=0.5+0.4-0.2=0.7$ 。 3事象版: $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$ 。

つまずきポイント

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ としてしまう（ $A\cap B$ が空でない限り交差を引く必要がある）
3事象の符号パターンを間違える（3項交差は引かずに足す。奇数個の交差は足し、偶数個は引く）
余事象との使い分けを忘れる（「少なくとも1つ」は余事象 $1-P(\text{全て起きない})$ の方が楽な場合も多い）

定着クイズ

$P(A)=0.5,\ P(B)=0.4,\ P(A\cap B)=0.2$ のとき $P(A\cup B)$ は？

3事象の包除で3項交差 $P(A\cap B\cap C)$ は足す？引く？

「少なくとも1つ発生する」確率を求めるのに余事象を使うと？