加入時積立方式

以後その人は1円も払わない。退職時年金現価積立方式とちょうど鏡の関係で、一括で払うタイミングが在職期間の入口か出口かだけが違う。

積立金は在職者と年金受給権者の給付現価

加入時に全額を積んでしまうので、積立金は在職者の給付現価と年金受給権者の給付現価の合計になる。ただし$x_{e}$ 歳の者は除く。

$F=S^{p}+S^{a}\ (x_{e}\ \text{歳の者を除く})$

いま加入した人の給付現価は、まさにこの瞬間に保険料として払い込まれるところであって、期初の積立金にはまだ入っていない。2025年度問題1(5)(ア) はこの額に $v$ を乗じるという記述で誤りにしている。$v$ を乗じるのは「1年後の値に割り引く」ことだが、積立金は期初時点の額なので割り引く理由がない。

単位積立方式との差

加入時積立方式と単位積立方式はどちらも年金受給権者分を丸ごと含むので、差は在職者分だけになる。

$F^{\text{加入時}}-F^{\text{単位}}=S^{a}_{\text{除}}-S^{a}_{PS}=\text{在職者の将来期間分の給付現価}$

「加入時に全部積む」と「発生したぶんだけ積む」の差が、まさにまだ発生していない将来期間分である、という自然な読み方ができる。

・$B=8{,}536.59$、$d=0.0196078$

（1）保険料総額と積立金

$^{In}\!C=1{,}000\times 6.5963=6{,}596.26$

$F=(8{,}536.59-6{,}596.26)/0.0196078=98{,}956.78$

（2）定義から組み立てて突き合わせる

57歳の1,000人を除いた在職者の給付現価は

$900\times 7.4758+800\times 8.5784=13{,}590.93$

年金受給権者分 $85{,}365.85$ を足すと $98{,}956.78$ で（1）と一致する。57歳の1,000人を足してしまうと過大になる——$105{,}553.04$ となり、差の $6{,}596.26$ はちょうど保険料総額であるである。

2025年度問題1(5)(ア) は在職者分にだけ$v$ を乗じるという記述である。実際に計算すると

$0.980392\times 13{,}590.93+85{,}365.85=98{,}690.29$

で正しい $98{,}956.78$ より $266.49$ 少ない。この $266.49$ は在職者分の利息1年ぶん（$d\times 13{,}590.93$）で、積立金は期初時点の額なので割り引く理由がない。誤りとされる理由が数値で確認できる。

（3）単位積立方式との差

$98{,}956.78-92{,}183.74=6{,}773.04$

一方、58・59歳の在職者の将来期間分の給付現価は

$900\times\tfrac{2}{3}\times 7.4758+800\times\tfrac{1}{3}\times 8.5784=6{,}773.04$

でぴったり一致する。

（4）本試験（2022年度問題3(1)(ア)）の再現

定年時に一時金 $(x_{r}-x_{e})$ を払う制度では、$^{In}\!C=(x_{r}-x_{e})v^{x_{r}-x_{e}}l_{x_{r}}$、$B=(x_{r}-x_{e})l_{x_{r}}$ なので

$F=\dfrac{B-{}^{In}\!C}{d}=(x_{r}-x_{e})\dfrac{1-v^{x_{r}-x_{e}}}{d}l_{x_{r}}=(x_{r}-x_{e})\ddot a_{\overline{x_{r}-x_{e}}|}\,l_{x_{r}}$

となり、公式解の(Ｅ)と一致する。ここでは期初払の確定年金が出る（$(1-v^{n})/d=\ddot a_{\angl{n}}$）。単位積立方式で期末払 $a$ が出たのと対になっている。