単位積立方式

その年に発生した給付（1年分の加入期間に対応する給付）の現価を、その年の費用として積み立てる方式。加入直後の保険料が低く、年齢とともに上がっていく。

$^{U}\!P_{x}=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{D_{x_{r}}}{D_{x}}\ddot a_{x_{r}}\times(\text{定年時の給付})=\dfrac{S_{x}}{n}$

となる。ここが他の5方式との決定的な違いで、$^{U}\!P_{x}$ は年齢の関数である（他は定額または一括）。

年齢とともに必ず増加する

$S_{x}$ は定年が近づくほど割引期間が短くなり、脱退による目減りも減るので増加する。それを $n$ で割っただけなので $^{U}\!P_{x}$ も増加する。加入年齢方式の $^{E}\!P$、開放基金方式の $^{OAN}\!P$ はどちらも $^{U}\!P_{x}$ の加重平均なので、ある年齢で $^{U}\!P_{x}$ がそれらを追い越す。何歳で追い越すかを問う設問が繰り返し出ている。

積立金は過去期間分

保険料が「発生したぶんだけ」なので、積み上がった積立金は在職者の過去の加入期間に対応する給付現価になる。

$F=S^{p}+S^{a}_{PS}$

2025年度問題1(5)(ウ) はこれを「将来の被保険者期間」と書き換えて誤りにしている。過去と将来を取り違えると、積立金と未積立債務がそっくり入れ替わってしまう。

定常状態の一般形（2022年度問題3(1)）

定年時に一時金 $(x_{r}-x_{e})$ を払う制度では

$^{U}\!C=\sum_{x=x_{e}}^{x_{r}-1}\dfrac{D_{x_{r}}}{D_{x}}l_{x}=a_{\overline{x_{r}-x_{e}}|}\,l_{x_{r}}$

となり、$F=((x_{r}-x_{e})-a_{\overline{x_{r}-x_{e}}|})l_{x_{r}}/d$ にまとまる。年金で払う制度なら $\ddot a_{x_{r}}$ が両方に掛かって $F=((x_{r}-x_{e})\varepsilon_{x_{r}}-a_{\overline{x_{r}-x_{e}}|}\ddot a_{x_{r}})l_{x_{r}}/d$ になる。保険料側だけ期末払確定年金が現れるのは、$\sum D_{x_{r}}/D_{x}\cdot l_{x}=\sum v^{x_{r}-x}l_{x_{r}}$ が1年後から $n$ 年後までの割引の和だからである。

・在職者数 $l_{57}=1{,}000$、$l_{58}=900$、$l_{59}=800$

（1）年齢別の保険料

$^{U}\!P_{x}=S_{x}/3$ より

$^{U}\!P_{57}=2.19875,\quad {}^{U}\!P_{58}=2.49192,\quad {}^{U}\!P_{59}=2.85948$

確かに単調に増えている。

（2）保険料総額と積立金

$^{U}\!C=1{,}000\times 2.19875+900\times 2.49192+800\times 2.85948=6{,}729.06$

$F=(8{,}536.59-6{,}729.06)/0.0196078=92{,}183.74$

（3）定義から組み立てて突き合わせる

在職者の過去期間の割合は 57歳が 0、58歳が 1/3、59歳が 2/3 なので

$S^{a}_{PS}=900\times\tfrac{1}{3}\times 7.4758+800\times\tfrac{2}{3}\times 8.5784=6{,}817.89$

年金受給権者分 $85{,}365.85$ を足すと $92{,}183.74$ で（2）と一致する。ここで「将来期間分」を使うと合わない——$13{,}369.29+85{,}365.85=98{,}735.14$ になる。2025年度問題1(5)(ウ) が誤りとされる理由がそのまま数値で見える。

（4）追い越す年齢

加入年齢方式の $^{E}\!P=2.487944$ と比べると、$^{U}\!P_{57}<{}^{E}\!P<{}^{U}\!P_{58}$ なので58歳で追い越す。開放基金方式の $^{OAN}\!P=2.492245$ とは $^{U}\!P_{58}<{}^{OAN}\!P<{}^{U}\!P_{59}$ なので59歳で追い越す。$^{E}\!P<{}^{OAN}\!P$ だから低いほうに先に到達する、という順序どおりになっている。

（5）本試験（H29問題4）の再現

加入20歳・定年60歳・脱退率 3 パーセント・$i=2$ パーセントの40年モデルでは、$^{U}\!P_{x}$ が $^{E}\!P$ を追い越すのは37歳、$^{OAN}\!P$ を追い越すのは39歳になる。どちらも公式解と一致する。在職期間が長いほど追い越しは後ろに寄る。