多重脱退残存表

死亡・定年前退職・障害など複数の脱退原因を同時に扱う残存表。二重・三重脱退表と、原因が1つしかない場合の単独脱退残存表との換算関係が論点になる。

で、$(\tau)$ は「全原因あわせて」を表す。原因 $j$ による脱退率は $q^{(j)}_x=d^{(j)}_x/l^{(\tau)}_x$ である。

一方、その原因しか存在しない世界での脱退率を $q^{(j)*}_x$ と書き、単独脱退率（絶対脱退率）と呼ぶ。アスタリスクの有無で意味がまったく違う。

生存率は積に分解できる

各原因が独立なら

$p^{(\tau)}_x=\displaystyle\prod_j p^{(j)*}_x$

が成り立つ。分解できるのは生存率の側だけで、脱退率は和にならない。

脱退が年内に一様なら換算式が出る

各原因が独立で年内に一様に発生するとき、二重脱退なら

$q^{(A)}_x=q^{(A)*}_x\left(1-\tfrac12 q^{(B)*}_x\right)$

三重脱退なら

$q^{(A)}_x=q^{(A)*}_x\left(1-\tfrac12\left(q^{(B)*}_x+q^{(C)*}_x\right)+\tfrac13 q^{(B)*}_x q^{(C)*}_x\right)$

になる。この3本を足し合わせると

$\displaystyle\sum_j q^{(j)*}_x-\sum_j q^{(j)}_x=\left(q^{(A)*}_x q^{(B)*}_x+q^{(A)*}_x q^{(C)*}_x+q^{(B)*}_x q^{(C)*}_x\right)-q^{(A)*}_x q^{(B)*}_x q^{(C)*}_x$

という左右対称な形になる。2020年度問題1(2)はこの差を選ばせている。

向きは常に「多重のほうが小さい」

他の原因で先に抜けた人はその原因では脱退しないので、$q^{(j)}_x<q^{(j)*}_x$ が必ず成り立つ。符号の向きだけでも選択肢が半分に絞れる。

（1）多重脱退率に直す

$q^{(A)}=0.06\times\left(1-\dfrac{0.04+0.02}{2}+\dfrac{0.04\times0.02}{3}\right)=0.06\times0.970267=0.058216$

同様に

$q^{(B)}=0.04\times\left(1-\dfrac{0.06+0.02}{2}+\dfrac{0.06\times0.02}{3}\right)=0.04\times0.960400=0.038416$

$q^{(C)}=0.02\times\left(1-\dfrac{0.06+0.04}{2}+\dfrac{0.06\times0.04}{3}\right)=0.02\times0.950800=0.019016$

となり、どれも単独の率より小さい。

（2）合計の差を素直に引く

$\left(0.06+0.04+0.02\right)-\left(0.058216+0.038416+0.019016\right)=0.120000-0.115648=0.004352$

（3）包除の式で確かめる

$\left(0.06\times0.04+0.06\times0.02+0.04\times0.02\right)-0.06\times0.04\times0.02$

$=\left(0.0024+0.0012+0.0008\right)-0.000048=0.004400-0.000048=0.004352$

(2) と (3) が一致する。換算式の係数 $\tfrac12$ と $\tfrac13$ は近似ではなく、年内一様の仮定の下では厳密なので、両者はどんな数値でもぴったり合う。本試験は (3) の形を選択肢に並べてくるので、2原因の積の和がプラス、3原因の積がマイナスという符号の並びだけ覚えておけばよい。