新規加入見込と定常状態への到達

年金数理・用語・定常人口と人員構成

ひとことで言うと

新規加入者数の見込みを変えると、変えた年から順に若い年齢だけが新しい人数になる。t 年後の絵は「年齢のある所で新旧を切って貼り合わせた2枚」で、全部入れ替わるのに最終年齢−加入年齢年かかる。

新規加入者数を変えると、変更後に加入した年齢帯だけが新しい高さになる。年齢の途中にできる境目が毎年1歳ずつ右へ動き、最終年齢−加入年齢年で全体が入れ替わる。

\text{加入年齢 }a\text{ の新規加入 }n_a\ \Rightarrow\ \text{年齢}x\text{の人数}=\sum_a n_a\dfrac{l_x}{l_a}

制度の前提を時刻0で変えたとする。加入年齢 $x_e$ ・最終年齢 $x_r$ なら、時刻 $t$ の人員構成は

・ $x_e\le x\le x_e+t$

新しい定常状態への到達には $x_r-x_e$ 年かかる

変更年度の新規加入者が定年に達するまで新旧が同居する。したがって $t<x_r-x_e$

＜計算の前提＞（2024年度問題2(1)を参考にした例。数値は変えている）

・新規加入年齢 55 歳、定年年齢 60 歳

・制度全体の被保険者数は 500 人、給与総額は 15{,}800 万円

・予定脱退率は 55歳 0.40、56歳 0.50、57歳・58歳 0.00、59歳 1.00

・給与指数は 55歳から順に 1.0、1.2、1.4、1.6、1.8

・将来の定常人口到達時点の被保険者数・給与総額が、現在の実績と一致するように見込みを置く

（1）脱退残存表を作る

新規加入者1人あたり $l_{55}=1.0$ 、 $l_{56}=0.6$

変更した年度からすぐに新しい定常人口の公式を当ててしまう。全員が入れ替わるまで $x_r-x_e$ 年かかるので、その間は新旧2枚を貼り合わせなければならない。
$t$ 年後の平均年齢を、新旧それぞれの平均年齢の単純平均で出してしまう。人数の重みが違うので、分子と分母を別々に合計してから割る。
被保険者数の見込みと加入時給与の見込みで同じ分母を使ってしまう。人数は $\sum l_x$

加入年齢 $x_e$ ・最終年齢 $x_r$ の定常人口で、時刻0に新規加入者数を $k$ 倍にした。時刻 $t$ （ $0<t<x_r-x_e$ ）における年齢 $x$ の被保険者数の扱いとして正しいものはどれか。

新規加入年齢 55 歳・定年 60 歳の制度で、新規加入者1人あたりの $l_x$ が $l_{55}=1.0$ 、 $l_{56}=0.6$ 、 $l_{57}=l_{58}=l_{59}=0.3$ であるとする。制度全体の被保険者数を 500 人に保つ新規加入者数として正しいものはどれか。

上と同じ制度で給与指数が 55 歳から順に 1.0、1.2、1.4、1.6、1.8 であるとする。給与総額 15,800 万円に対応する加入時給与を求めるとき、割り算の分母に使う合計として正しいものはどれか。