延長保険（生存保険金額の発生条件）

責任準備金を定期保険の一時払保険料に充て、元の保険金額のまま保障を継続する変更。準備金が余ると満期に生存保険金が発生する。

で$m$が決まる。ところが$W_t$が大きいと、$m$が元の満期までの残存期間$n-t$を超えてしまう。元の満期より先へは延ばさないのが延長保険の約束なので、余った原資は満期時の生存保険金$S$として支払う。すなわち

$W_t = \underbrace{A^1_{x+t:\angl{n-t}} + \alpha\,\ddot a_{x+t:\angl{n-t}}}_{K\ (\text{死亡保障の原価})} + S\cdot{}_{n-t}E_{x+t}$

$S = \dfrac{W_t - K}{{}_{n-t}E_{x+t}}$

となる（生存保険金額にも事業費$\beta$がかかる設定なら分母は${}_{n-t}E_{x+t}+\beta\,\ddot a_{x+t:\angl{n-t}}$）。したがって

生存保険金が発生する条件は $W_t \ge K$——解約返戻金が「満期までの定期保険＋その事業費」を買い切れること、である。

いつ発生し始めるか：$W_t$は$t$とともに増え、$K$は残存期間が短くなるので$t$とともに減る。したがって両者は必ずどこかで交差し、その年度から生存保険金が発生する。試験では

・$t-1$年経過時点では発生しない：$W_{t-1} < K_{t-1}$ ・$t$年経過時点では発生する：$W_t \ge K_t$

の2つの不等式で$n-t$を挟み撃ちにする形で問われる。$K$を$A^1=1-d\,\ddot a-v^{m}\,{}_{m}p$と書き換えれば、未知数は$v^{n-t}$だけになり対数で解ける。

(1) 死亡保障の原価

$K=A^1_{50:\angl{10}}+0.001\times\ddot a_{50:\angl{10}}=0.155380+0.008082=0.163462$

$W_{10}=0.378578 > K$ なので生存保険金が発生する。

(2) 生存保険金額

$S=\dfrac{0.378578-0.163462}{0.609213}=\dfrac{0.215116}{0.609213}=0.353105$

(3) 検算：$K+S\cdot{}_{10}E_{50}=0.163462+0.353105\times0.609213=0.378578$ で$W_{10}$に戻る。延長保険の問題は必ずこの「戻るか」の検算ができる。

(4) 発生しない場合：仮に$W_{10}=0.10$しかなければ$K=0.163462$を下回るので生存保険金は発生せず、代わりに保険期間が短縮される。$A^1_{50:\angl{m}}+0.001\ddot a_{50:\angl{m}}$を$m$について調べると$m=5$で$0.091806$、$m=6$で$0.107591$なので、おおむね5年強の定期保険にしか組み替えられない。