貸付金がある場合の延長・払済

契約者貸付等の債務がある状態での延長・払済変更。準備金から貸付金を控除した額を変更後保険の原資とするため、保険金額が減少する。

$W_t - L = (1-L)\left(A^1_{x+t:\angl{n-t}} + \alpha\,\ddot a_{x+t:\angl{n-t}}\right) + S\cdot{}_{n-t}E_{x+t}$

となる。$K=A^1_{x+t:\angl{n-t}}+\alpha\,\ddot a_{x+t:\angl{n-t}}$ と置けば

$S = \dfrac{W_t - L - (1-L)K}{{}_{n-t}E_{x+t}}$

である。②を落として死亡保険金額を1のままにすると、右辺の第2項が$(1-L)K$ではなく$K$になり、答えが選択肢の範囲外に出る——これが貸付金の問題の唯一にして最大の落とし穴である。

生存保険金が発生しない条件は$S\le0$、すなわち

$W_t - L \le (1-L)K \iff L \ge \dfrac{W_t-K}{1-K}$

である。分母が$1-K$になる点に注意する（$W_t-K$ではない）。貸付金が大きいほど原資も死亡保障の原価も減るが、原資の減り方（$-L$）のほうが原価の減り方（$-LK$、$K<1$）より速いため、貸付金を増やすと生存保険金は減る。

払済保険の場合も考え方は同じで、原資$W_t-L$に対して変更後保険金額を求める。

(1) $L=0.05$ の場合

$S_2=\dfrac{0.378578-0.05-0.95\times0.163462}{0.609213}=\dfrac{0.173292}{0.609213}=0.284448$

貸付金がない場合の$S_1=0.353105$（SEI055）と比べると$0.8056$倍になる。

(2) 死亡保険金額の減額を落とすとどうなるか

$\dfrac{0.378578-0.05-0.163462}{0.609213}=0.271032$

となり、正しい$0.284448$から$1.3$%ほどずれる。試験の選択肢は$0.005$刻み程度なので、この差は確実に別の選択肢に着地してしまう。

(3) 生存保険金が発生しない最小の貸付金

$L=\dfrac{W_{10}-K}{1-K}=\dfrac{0.378578-0.163462}{1-0.163462}=\dfrac{0.215116}{0.836538}=0.257150$

分母の$1-K$を忘れて$W_{10}-K=0.215116$と答えると誤り。$K<1$なので正しい$L$は必ず$W_t-K$より大きくなる。

(4) $L=0.15$ の場合：$S_2=\dfrac{0.378578-0.15-0.85\times0.163462}{0.609213}=0.147133$。$L$が(3)の$0.257150$に近づくにつれて生存保険金が$0$へ向かうことが確認できる。