手術保障保険

所定の手術を受けた際に給付する保険。手術発生率・給付倍率をもとに給付現価を評価し、入院保障と組み合わせて設計する。

$A^{\text{手術}}=v^{\frac{1}{2}}\displaystyle\sum_{t=1}^{n}\frac{D_{x+t-1}}{D_x}\sum_{j}q^{c_j}B_j(t)$

手術の発生と手術給付金の支払は年央に起こるとされるのが通例なので、半年分の割引 $v^{1/2}$ が前に出る。ここが第三分野の他の給付（年度末支払が多い）と違う点である。

手術種類が増えても未知数は増えない

出題では「手術種類1の発生率は手術種類2の2倍」のように、発生率どうしの比が条件として与えられる。比を使って全部を1つの発生率で表せば、未知数は1つに減る。あとは収支相等の式を1本立てるだけで解ける。

給付倍率が保険年度によらず一定なら、$\sum_j q^{c_j}B_j$ をそのまま括り出せて

$A^{\text{手術}}=v^{\frac{1}{2}}\left(\sum_j q^{c_j}B_j\right)\ddot a_{x:\angl{n}}$

となる。手術給付の部分がまるごと1つの生命年金現価に化ける。

給付額が保険年度の1次式のとき

給付額が $B(t)=\alpha-\beta t$ のように $t$ の1次式で減っていく設計もよく出る。このときは

$\displaystyle\sum_{t=1}^{n}\frac{D_{x+t-1}}{D_x}(\alpha-\beta t)=\alpha\,\ddot a_{x:\angl{n}}-\beta\,(I\ddot a)_{x:\angl{n}}$

となり、$\ddot a$ と $(I\ddot a)$ の線形結合に落ちる。$(I\ddot a)$ が与件で渡されていたら、給付額が $t$ の1次式になっていないかをまず疑うとよい。

契約は手術では消滅しない

手術給付金を受け取っても契約は続く。消滅するのは満期を迎えたときと死亡したときだけである。だから給付現価の重みは「その年度の始めに生存している人数」$D_{x+t-1}$ であって、まだ手術を受けていない人数ではない。「1年間に2回以上は発生しない」「各手術種類は互いに独立」というただし書きは、この重み付けを単純に保つために置かれている。

営業保険料まで問われる場合

手術給付現価 $A^{\text{手術}}$ を求めたら、あとは通常どおり予定新契約費・予定維持費・予定集金費を組み込んだ収支相等式を立てる。$P^{*}$ を年払営業保険料、$\alpha$ を新契約費、$\gamma$ を維持費、$\beta$ を集金費率とすると

$P^{*}\ddot a_{x:\angl{m}}(1-\beta)=A^{\text{手術}}+\alpha+\gamma\,\ddot a_{x:\angl{m}}$

となる。手術保障に固有の部分は左辺ではなく右辺の $A^{\text{手術}}$ だけである。

種類1と種類2の合成係数は $t$ の1次式になる。

$2\left(2-\dfrac{t}{20}\right)+\left(3-\dfrac{t}{20}\right)=7-\dfrac{3t}{20}$

したがって手術給付現価は

$v^{\frac{1}{2}}q^{c_2}\left(7\,\ddot a_{x:\angl{20}}-\dfrac{3}{20}(I\ddot a)_{x:\angl{20}}\right)$

となる。満期の生存保険金1とあわせて一時払純保険料が1になるという条件から

$A^{\ \ 1}_{x:\angl{20}}+v^{\frac{1}{2}}q^{c_2}\left(7\,\ddot a_{x:\angl{20}}-\dfrac{3}{20}(I\ddot a)_{x:\angl{20}}\right)=1$

が立つ。$i=1.00\%$・$\ddot a_{x:\angl{20}}=18.1$・$A^{\ \ 1}_{x:\angl{20}}=0.81$・$(I\ddot a)_{x:\angl{20}}=183.5$ を入れると括弧の中は

$7\times18.1-0.15\times183.5=126.7-27.525=99.175$

となり、

$q^{c_2}=\dfrac{1-0.81}{1.01^{-1/2}\times99.175}=0.0019254$

$q^{c_1}=2\times0.0019254=0.0038508$

を得る。$v^{1/2}$ を落とすと0.0038316、$(I\ddot a)$ の項を落とすと0.0030142になり、いずれも選択肢の別の位置に着地する。