投資家の効用・リスク選好

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投資理論・用語

ひとことで言うと

リスク回避型の投資家は「同じ期待収益率なら分散が小さいほど嬉しい」「同じ分散なら期待収益率が高いほど嬉しい」と感じる。その好みを表すのが効用関数と無差別曲線。

σ（横軸）と期待収益率（縦軸）上の無差別曲線。リスク回避が強いほど曲線が急峻になる（同じリスク増加に対してより高いリターンを要求）。

数式で表すと

$U = E[R] - \frac{A}{2}\sigma^2$

リスク回避型の効用関数はリターンで増加・リスクで減少。代表的表現 U = E[R] − (A/2)σ²（A > 0：リスク回避係数）。無差別曲線は右上がり。

リスク回避型投資家の効用関数としてよく使われる表現が

U = E[R] - \frac{A}{2} \sigma^2

である（

A > 0

：リスク回避係数、

\sigma^2

：収益率の分散）。

A

が大きいほどリスクへの嫌悪が強い。「効用

U

が一定」の曲線が無差別曲線で、

E[R] = U + (A/2)\sigma^2

と書けるため、

\sigma

（横軸）に対して上に凸な曲線として描かれる。投資家は自分の無差別曲線が効率的フロンティア（または資本市場線）に接する点を選ぶ。リスク中立（

A=0

）の投資家は期待収益率のみで判断し、リスクを無視する（無差別曲線は水平）。リスク選好（

A < 0

）の投資家は分散が大きいほど効用が高くなる（通常の投資分析では想定しない）。

試験に出る性質

リスク回避係数 $A$ が大きいほど急峻な無差別曲線

急峻な曲線は「リスクが少し増えるだけで大幅なリターン増を要求する」ことを意味する。

最適ポートフォリオは無差別曲線とフロンティアの接点

より「右上」にある無差別曲線ほど効用が高い。フロンティア（または資本市場線）と接する最も右上の無差別曲線が最適解。

効用関数 $U = E[R] - (A/2)\sigma^2$ は正規分布のもとで厳密に成立

収益率が正規分布に従うとき、この 2 次の効用関数は平均と分散のみで効用が決まるため正確。非正規（歪度や尖度が大きい）な収益率では近似に過ぎない。

例で見る

$A=2$ 、ポートフォリオ X が $E[R]=8\%$ ・ $\sigma=15\%$ 、ポートフォリオ Y が $E[R]=10\%$ ・ $\sigma=20\%$ のとき： $U_X = 0.08 - (2/2) \times 0.0225 = 0.08 - 0.0225 = 0.0575$ 、 $U_Y = 0.10 - 0.0400 = 0.060$ 。 $U_Y > U_X$ なので $A=2$ の投資家は Y を選ぶ。

つまずきポイント

効用関数の $\sigma^2$ （分散）と $\sigma$ （標準偏差）を混同しない。 $U = E[R] - (A/2)\sigma^2$ の $\sigma^2$ は分散（標準偏差の 2 乗）。
「リスク回避型」は損失を嫌うという意味ではなく、同じ期待収益率なら分散が小さいほど好む、という意味。高リスク・高リターンの投資も、効用が高ければ選ぶ。

定着クイズ

効用関数 $U = E[R] - (A/2)\sigma^2$ において、 $A=2$ 、期待収益率 $10\%$ 、分散 $\sigma^2=0.04$ （標準偏差 $20\%$ ）のとき効用はいくらか。

リスク回避係数 $A$ が大きくなるほど、リスク（σ）と期待収益率の平面上の無差別曲線はどうなるか。

リスク中立（ $A=0$ ）の投資家の無差別曲線と行動の説明として正しいものはどれか。