期待効用・確実等価

投資理論・公式・投資家の選好・効用理論

ひとことで言うと

リスクのある賞金くじの価値を、確率で重み付けした「効用の期待値（期待効用）」で測る。その期待効用と同じ効用を与える確実な金額が確実等価。リスク回避型なら確実等価は期待値より小さく、その差がリスク・ディスカウント。

凹の効用関数（リスク回避型）。確実等価 CE は期待値 E[x] より左（小さい）にあり、その差がリスク・ディスカウント。

数式で表すと

CE = U^{-1}(E[U(x)]),\quad \text{リスク・ディスカウント} = E[x] - CE

期待効用 E[U(x)] を最大化する枠組み。確実等価 CE は同じ効用を与える確実な金額 CE = U⁻¹(E[U(x)])。リスク・ディスカウント = 期待値 − 確実等価。リスク回避型では CE < E[x]。

期待効用理論：リスクのある結果 $x$ に対し、投資家は金額そのものではなく効用 $U(x)$ の期待値 $E[U(x)] = \sum_i p_i\,U(x_i)$

試験に出る性質

混合くじの期待効用の大小比較

2018年(問9(Ⅰ)(4))、2023年(問10(3))、2025年(問10(4))で共通して、複数の確率くじA・Bを一定割合で組み合わせた新しいくじC(例:AとBを0.5口ずつ)について、期待効用 $U_A,U_B,U_C$ の大小関係を問う出題が続いている。凹関数の期待効用の性質(イェンセンの不等式)から、組み合わせによる分散低減効果で

例で見る

くじ「確率 0.5 で 36 円、0.5 で 64 円」、効用関数 $U(x)=\sqrt{x}$ のとき：

期待効用 $E[U] = 0.5\sqrt{36} + 0.5\sqrt{64} = 0.5\times6 + 0.5\times8 = 7$

つまずきポイント

期待効用 E[U(x)] と『期待値の効用』U(E[x]) を混同しない。凹関数では前者が小さい。
確実等価は『同じ効用を与える確実額』であって、期待値そのものではない。
リスク・ディスカウントは期待値 − 確実等価。正ならリスク回避的、ゼロならリスク中立。

定着クイズ

効用関数 $U(x)=\sqrt{x}$ の投資家にとって、くじ「確率0.5で36円、0.5で64円」の確実等価はいくらか。

リスク回避型の投資家について、確実等価 $CE$ と期待値 $E[x]$ の大小関係として正しいものはどれか。

リスク・ディスカウント（リスクプレミアム）の定義として正しいものはどれか。

関連：投資家の効用・リスク選好リスク回避度・リスク許容度

この用語を扱う問題（6）

リスク回避度・リスク許容度→