破産確率（連続時間・厳密解）

損保数理・公式・破産理論・リスク理論

ひとことで言うと

連続時間で見た破産確率を「上限」ではなく、正確な値として求める理論。クレーム額が指数分布やその混合であれば、破産確率が指数関数の和というきれいな式で書ける。

クレーム額が指数分布や混合指数分布のとき、破産確率ψ(u)は指数関数の和という閉じた式で表せる。

数式で表すと

\psi(u)=1-\phi(u), \quad \text{例: } \psi(u)=\tfrac{9}{16}e^{-u}+\tfrac{1}{16}e^{-3u}

連続時間のクラシカル（Cramér–Lundberg）モデルにおける究極破産確率 $\psi(u)$ は、存続確率 $\phi(u)=1-\psi(u)$ が満たす積分・微分方程式を解く方法や、破産による最大損失を複合幾何分布で表して積率母関数から解く方法で厳密に求められる。クレーム額が指数分布や混合指数分布のとき、 $\psi(u)$ は

$\psi(u)=1-\phi(u),\quad \text{例: } \psi(u)=\tfrac{9}{16}e^{-u}+\tfrac{1}{16}e^{-3u}$

試験に出る性質

指数・混合指数分布では破産確率が指数関数の和で表せる

クレーム額が指数分布や混合指数分布のとき、破産確率 $\psi(u)$ は指数関数の和という閉じた式で表せる（2018年度問題4）。

最大損失は複合幾何分布に従う

破産による最大損失（サープラスが初めて負になるまでの最大の下振れ幅）は複合幾何分布に従い、その積率母関数を使って $\psi(u)$ を導出できる（2018年度問題4）。

ψ(0)=1/(1+θ)

初期サープラスがゼロのときの破産確率は $\psi(0)=1/(1+\theta)$

例で見る

安全割増率 $\theta=0.25$ のとき、初期サープラスがゼロの場合の破産確率は

$\psi(0)=1/(1+0.25)=0.8$

となる。

つまずきポイント

破産確率の閉じた式（指数関数の和）が使えるのは、クレーム額分布が指数分布や混合指数分布などの特定の場合に限られる。
ψ(0)=1/(1+θ)は初期サープラスがゼロの場合の破産確率であり、任意のuでの破産確率と混同しない。
複合幾何分布による最大損失の表現は更新理論の考え方に基づいており、単純な複合ポアソン分布とは異なる構造をもつ。

定着クイズ

安全割増率θ=0.6のとき、初期サープラスがゼロの場合の破産確率ψ(0)に最も近いものはどれか。

破産確率が指数関数の和という閉じた式で表せるのはどの場合か。

破産による最大損失が従う分布として正しいものはどれか。

この用語を扱う問題（12）

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