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財政方式の変更とは｜定義・公式とアクチュアリー試験の関連問題 | acpass
年金数理・公式・財政方式の体系
ひとことで言うと 運営中の制度が財政方式を切り替えると、責任準備金の水準が変わり、いまの積立金との差が未積立債務として現れる。切替の設問は「保険料を何倍にすれば届くか」「給付を何パーセントに落とせば負担が同じか」の2型に集約でき、どちらも定常状態の極限方程式から立てる。
財政方式を切り替えると責任準備金の目標水準が上がり、現在の積立金との差が未積立債務として現れることを示す2本の縦棒の比較図。 切替で変わるのは目標水準、給付は変わらない 積立金 F 切替前 積立金 F 切替後 未積立債務 特別保険料で償却 方式変更 責任準備金 給付現価は方式によらず共通 拡大 積立金そのものは切替の瞬間には動かない。動くのは責任準備金の水準で、その差が未積立債務になる。
数式で表すと 切替時の追加負担 = V 新方式 − F \text{切替時の追加負担}=V^{\text{新方式}}-F 切替時の追加負担 = V 新方式 − F 財政方式を切り替えたときに必要となる積立金の追加拠出や保険料の変化。切替時点で新方式の責任準備金と現在の積立金の差が未積立債務として現れる。
財政方式を変更しても 約束した給付は変わらない 。変わるのは費用をいつ認識するかだけである。それでも切替時に問題が起きるのは、 方式ごとに目標とする積立水準が違う からである。
切替時に必要な追加積立 = F 新方式 − F 現在 \text{切替時に必要な追加積立}=F^{\text{新方式}}-F^{\text{現在}} 切替時に必要な追加積立 = F 新方式 − F 現在
責任準備金で書けば、切替後の責任準備金と現在の積立金の差が 未積立債務 として現れ、特別保険料で償却することになる。
本試験の2つの型
10年で4回出ており、設問はほぼ2つの型に集約できる。
型1：保険料を何倍にすれば届くか
試験に出る性質 切替で変わるのは責任準備金の水準で、給付現価は変わらない
S p S^{p} S p ・ S P S a S^{a}_{PS} S P S a ・ S F S a S^{a}_{FS} S F S a
例で見る ＜計算の前提＞
・B1・B2 と同じトイモデル。6方式の積立金は NEN039 で求めた値を使う
・ B = 8,536.59 B=8{,}536.59 B = 8 , 536.59 、 d = 0.0196078 d=0.0196078 d = 0.0196078 、 i = 2.0 i=2.0 i = 2.0 パーセント
（1）本モデルでの切替コスト
つまずきポイント 方式を変えると給付現価も変わる、と考えない。変わるのは責任準備金と保険料の水準だけである。 型1の漸化式で B B B を消すのを忘れない。両端の極限方程式を使えば B B B も F F F も消えて保険料の比だけが残る。 型2で標準保険料率だけを合わせない。特別保険料率まで含めた合計を等しくおくのが設問の指定である。 問題文に丸めの指定があるときは必ず従う。丸めの有無で小数第2位が変わることがある。 定着クイズ Q1 運営中の年金制度が財政方式を変更したとき、「変わらない」ものはどれか。
A. 標準保険料率 B. 責任準備金 C. 給付現価 D. 未積立債務
Q2 退職時年金現価積立方式で定常状態にある制度が、保険料を10年間 k k k 倍にしたのち加入時積立方式で定常状態になった。加入年齢 x e x_{e} x e 、定年年齢 x r x_{r} x r とするとき k k k を表す式として正しいものはどれか。
A. 1 − v 10 + ( x r − x e ) 1 − v 10 \dfrac{1-v^{10+(x_{r}-x_{e})}}{1-v^{10}} 1 − v 10 1 − v 10 + ( x r − x e ) B. 1 − v 10 1 − v 10 + ( x r − x e ) \dfrac{1-v^{10}}{1-v^{10+(x_{r}-x_{e})}} 1 − v 10 + ( x r − x e ) 1 − v 10 C. 1 1 − v 10 \dfrac{1}{1-v^{10}} 1 − v 10 1 D. v x r − x e v^{x_{r}-x_{e}} v x r − x e Q3 開放基金方式から加入年齢方式へ変更する際、標準保険料率と特別保険料率の「合計」を変えないように将来期間分の給付を x x x 倍に調整する。この設問の立て方として正しいものはどれか。
A. 標準保険料率だけを等しくおいて x x x を解く B. 特別保険料率だけを等しくおいて x x x を解く C. 標準保険料率と特別保険料率の和を等しくおいて x x x を解く D. 責任準備金を等しくおいて x x x を解く この用語を扱う問題（0） 関連問題は現在準備中です。
現在の方式の保険料を k k k 倍にして t t t 年払い、目標方式の積立金に到達させる。漸化式
F t + 1 = ( F t + k C − B ) ( 1 + i ) F_{t+1}=(F_{t}+k\,C-B)(1+i) F t + 1 = ( F t + k C − B ) ( 1 + i )
v t F t − F 0 = ( k C − B ) 1 − v t d v^{t}F_{t}-F_{0}=(kC-B)\dfrac{1-v^{t}}{d} v t F t − F 0 = ( k C − B ) d 1 − v t
になる。ここに 両端の定常状態の極限方程式 （ C + d F 0 = B C+dF_{0}=B C + d F 0 = B と C 新 + d F t = B C^{\text{新}}+dF_{t}=B C 新 + d F t = B ）を入れると B B B と F F F が消え、 k k k が保険料の比だけで書ける。2024年度問題1(3) では退職時年金現価積立方式から加入時積立方式への切替で
k = 1 − v ( x r − x e ) + t 1 − v t k=\dfrac{1-v^{(x_{r}-x_{e})+t}}{1-v^{t}} k = 1 − v t 1 − v ( x r − x e ) + t
切替前後で 標準保険料率と特別保険料率の合計 を等しく保つように、将来期間分の給付を x x x 倍にする。標準保険料率が下がると責任準備金が上がり、特別保険料率も上がるので、 両方を同時に動かす1本の方程式 になる。2021年度問題1(7) がこの型である。
切替の設問でいちばん間違えやすいのがここである。 S p S^{p} S p ・ S P S a S^{a}_{PS} S P S a ・ S F S a S^{a}_{FS} S F S a ・ S f S^{f} S f ・ G a G^{a} G a ・ G f G^{f} G f の 諸数値は方式によらず共通 で、方式が決めるのは どれを分子・分母に採るか だけである。
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の諸数値は方式によらず共通で、方式が決めるのはどれを分子・分母に採るかだけである。切替後の責任準備金と現在の積立金の差が未積立債務になり、特別保険料で償却する。
型1：保険料を k 倍にして目標方式の積立金へ到達させる
漸化式 F t + 1 = ( F t + k C − B ) ( 1 + i ) F_{t+1}=(F_{t}+kC-B)(1+i) F t + 1 = ( F t + k C − B ) ( 1 + i ) を t t t 回まとめ、両端の定常状態の極限方程式で B B B と F F F を消すと k k k が保険料の比だけで書ける。2024年度問題1（3）は退職時年金現価積立方式から加入時積立方式への切替で k = ( 1 − v 50 ) / ( 1 − v 10 ) = 3.0163 k=(1-v^{50})/(1-v^{10})=3.0163 k = ( 1 − v 50 ) / ( 1 − v 10 ) = 3.0163 になる（5点）。
型2：標準保険料率と特別保険料率の合計を保つ給付水準を求める
標準保険料率を下げると責任準備金が上がり特別保険料率も上がるので、両方を同時に動かす1本の方程式になる。2021年度問題1（7）は開放基金方式から加入年齢方式への変更で給付を85パーセントにすれば負担が同じになると求めさせた（5点）。
隣り合う方式どうしの切替コストは小さい
トイモデルでは単位積立方式から平準積立方式への切替は592、加入時積立方式へは6,773で済むが、賦課方式から完全積立方式へは435,366（年間給付額の51倍）になる。順序（NEN039）で隣にある方式ほど切替が軽い。
剰余金の扱いを問う小問がある
2018年度問題2（4）②は、剰余金を温存したまま加入年齢方式へ見直した場合の責任準備金を問うている（1点）。剰余金を給付改善に充てるか積立金に残すかで、切替後の未積立債務が変わる。
・単位積立方式 → 平準積立方式： 92,775.95 − 92,183.74 = 592.20 92{,}775.95-92{,}183.74=592.20 92 , 775.95 − 92 , 183.74 = 592.20 ・単位積立方式 → 加入時積立方式： 98,956.78 − 92,183.74 = 6,773.04 98{,}956.78-92{,}183.74=6{,}773.04 98 , 956.78 − 92 , 183.74 = 6 , 773.04
・賦課方式 → 完全積立方式： 435,365.85 − 0 = 435,365.85 435{,}365.85-0=435{,}365.85 435 , 365.85 − 0 = 435 , 365.85
隣り合う方式どうしの切替は小さく、両端をまたぐ切替は年間給付額の51倍にもなる。
（2）型1：賦課方式から完全積立方式へ（NEN027 と同じ設問）
保険料を2倍にすると x = 1 / ( 1 − v t ) = 2 x=1/(1-v^{t})=2 x = 1/ ( 1 − v t ) = 2 から t > log 2 / log 1.02 = 35.00 t>\log 2/\log 1.02=35.00 t > log 2/ log 1.02 = 35.00 、つまり 36年 かかる。
（3）型1：本試験（2024年度問題1(3)）の再現
退職時年金現価積立方式で定常状態にある制度が、保険料を10年間 k k k 倍にしたあと加入時積立方式で定常状態になった。 i = 3.0 i=3.0 i = 3.0 パーセント・加入20歳・定年60歳・ v 10 = 0.74409 v^{10}=0.74409 v 10 = 0.74409 が与えられる。
・ T C = l 60 a ¨ 60 ^{T}\!C=l_{60}\ddot a_{60} T C = l 60 a ¨ 60 、 I n C = l 60 a ¨ 60 v 40 ^{In}\!C=l_{60}\ddot a_{60}v^{40} I n C = l 60 a ¨ 60 v 40 なので I n C / T C = v 40 ^{In}\!C/{}^{T}\!C=v^{40} I n C / T C = v 40
・漸化式を10年ぶんまとめ、両端の極限方程式で B B B と F F F を消すと
k = 1 − v 10 + 40 1 − v 10 = 1 − v 50 1 − v 10 = 3.0163 k=\dfrac{1-v^{10+40}}{1-v^{10}}=\dfrac{1-v^{50}}{1-v^{10}}=3.0163 k = 1 − v 10 1 − v 10 + 40 = 1 − v 10 1 − v 50 = 3.0163
公式解の(Ｃ)3.0 と一致する。漸化式を実際に10回回しても加入時積立方式の定常積立金にぴったり到達することを確認した。
（4）型2：本試験（2021年度問題1(7)）の再現
開放基金方式から加入年齢方式へ変更し、 標準保険料率と特別保険料率の合計 を変えないように将来期間分の給付を x x x パーセントにする。諸数値は S p = 1,000 S^{p}=1{,}000 S p = 1 , 000 、 S P S a = 2,000 S^{a}_{PS}=2{,}000 S P S a = 2 , 000 、 S F S a = 3,000 S^{a}_{FS}=3{,}000 S F S a = 3 , 000 、 S f = 4,000 S^{f}=4{,}000 S f = 4 , 000 、 G a = 15,000 G^{a}=15{,}000 G a = 15 , 000 、 G f = 25,000 G^{f}=25{,}000 G f = 25 , 000 、 F = 1,500 F=1{,}500 F = 1 , 500 、給与合計 1,500 1{,}500 1 , 500 、 a ¨ 10 = 8.97 \ddot a_{\angl{10}}=8.97 a ¨ 10 = 8.97 。
・開放基金方式：標準 = ( 3,000 + 4,000 ) / ( 15,000 + 25,000 ) = 0.175 =(3{,}000+4{,}000)/(15{,}000+25{,}000)=0.175 = ( 3 , 000 + 4 , 000 ) / ( 15 , 000 + 25 , 000 ) = 0.175 、責任準備金 = 10,000 − 0.175 × 40,000 = 3,000 =10{,}000-0.175\times 40{,}000=3{,}000 = 10 , 000 − 0.175 × 40 , 000 = 3 , 000 、特別 = ( 3,000 − 1,500 ) / ( 8.97 × 1,500 ) = 0.111 =(3{,}000-1{,}500)/(8.97\times 1{,}500)=0.111 = ( 3 , 000 − 1 , 500 ) / ( 8.97 × 1 , 500 ) = 0.111
・加入年齢方式：標準 = 4,000 x / 25,000 = 0.160 x =4{,}000x/25{,}000=0.160x = 4 , 000 x /25 , 000 = 0.160 x 、責任準備金 = 3,000 + 600 x =3{,}000+600x = 3 , 000 + 600 x 、特別 = ( 1,500 + 600 x ) / 13,455 =(1{,}500+600x)/13{,}455 = ( 1 , 500 + 600 x ) /13 , 455
合計を等しくおいて解くと x = 0.85298 x=0.85298 x = 0.85298 、公式解の(Ｈ)85 と一致する。
問題文は「小数点以下第4位を四捨五入し第3位まで求めなさい」と指定している。特別保険料率を丸めずに 0.111482 0.111482 0.111482 のまま計算すると x = 0.85536 x=0.85536 x = 0.85536 になる。 選択肢は2刻み（71・73・…・89）なのでどちらでも(Ｈ)85 に落ちる が、小数第2位までは変わる。指定された丸めは必ず従うこと。