MA

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モデリング・用語

ひとことで言うと

移動平均（MA）モデルは、現在の値が「今期と過去いくつかの誤差項（ショック）の重み付き和」で決まる時系列モデルです。AR モデルが過去の“値”を引きずるのに対し、MA は過去の“ランダムなショック”だけを一定期間引きずります。

MA(1) の自己相関 $\rho_k$ の棒グラフ。ラグ1だけ $\rho_1=\theta/(1+\theta^2)$ で非ゼロ、ラグ2以降はぴたりと0になる（有限の記憶）。AR の指数的に減衰し続ける自己相関とは対照的。

数式で表すと

$\gamma_0=(1+\theta^2)\sigma^2,\ \rho_1=\tfrac{\theta}{1+\theta^2},\ \rho_{k\ge2}=0$

移動平均モデル。MA(1) は $Y_t=\varepsilon_t+\theta\varepsilon_{t-1}$ 。ラグ2以降の自己相関は0。

MA（移動平均）モデルは、現在の値を過去のランダムな誤差項（ショック）

\varepsilon_t

の重み付き和で表す時系列モデルです。最も基本の MA(1) は

Y_t=\varepsilon_t+\theta\,\varepsilon_{t-1}

で、今期のショック

\varepsilon_t

と1期前のショック

\varepsilon_{t-1}

だけで決まります（

\varepsilon_t

は平均0・分散

\sigma^2

の独立な誤差）。これを concept: AR と対比すると違いが鮮明です。AR(1)

Y_t=\phi Y_{t-1}+\varepsilon_t

は過去の“値”

Y_{t-1}

を引きずるので影響が際限なく連鎖し（無限の記憶）、自己相関は

\rho_k=\phi^k

と指数的に減衰し続けます。一方 MA(1) は過去の“ショック”を1期ぶんしか含まないため、記憶が有限で、ある時点で自己相関がぴたりと切れます。 MA(1) の自己共分散・自己相関を計算してみます。分散（ラグ0の自己共分散）は

\gamma_0=\mathrm{Var}(Y_t)=(1+\theta^2)\sigma^2

（独立な2項の分散の和

\sigma^2+\theta^2\sigma^2

）。ラグ1の自己共分散は

\gamma_1=\mathrm{Cov}(Y_t,Y_{t-1})

で、共通して含むのは

\varepsilon_{t-1}

の項だけなので

\gamma_1=\theta\sigma^2

。よって自己相関は

\rho_1=\dfrac{\gamma_1}{\gamma_0}=\dfrac{\theta}{1+\theta^2},\qquad \rho_{k}=0\ (k\ge2)

となります。ラグ2以降は

Y_t

と

Y_{t-k}

が共通のショックを1つも含まないため、自己相関がきっかり0になるのです。これが MA の「有限の記憶」の正体です。この自己相関の形の違いは、実務での AR/MA 判別の手がかりになります。データの自己相関（ACF）を描いたとき、あるラグから先がぱたりと0に切れていれば MA、いつまでも指数的に尾を引いていれば AR、という見分け方です（より厳密には MA は ACF が打ち切られ、AR は偏自己相関 PACF が打ち切られる）。一般化すると MA(

q

) モデルは

Y_t=\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\dots+\theta_q\varepsilon_{t-q}

で、過去

q

期のショックを含むため自己相関はラグ

q

まで非ゼロ、

q+1

以降が0になります。MA はショックの重み付き和なので

|\theta|

の値によらず常に定常である点も AR との違いです。

試験に出る性質

MA(1) の式

$Y_t=\varepsilon_t+\theta\varepsilon_{t-1}$ 。今期と1期前のランダムなショックだけで決まる。

分散と自己相関

$\gamma_0=(1+\theta^2)\sigma^2$ 、 $\rho_1=\dfrac{\theta}{1+\theta^2}$ 、 $\rho_{k\ge2}=0$ 。

有限の記憶（ACFが打ち切られる）

MA(1) はラグ2以降の自己相関がぴたり0。AR(1) の $\rho_k=\phi^k$ （指数減衰し続ける）と対照的。

AR/MAの判別

ACFが急に0に切れたら MA、いつまでも尾を引けば AR。実務の見分けの手がかり。

MA(q)への一般化と定常性

MA( $q$ ) は過去 $q$ 期のショックを含み、自己相関はラグ $q$ までで $q+1$ 以降は0。MA は常に定常。

例で見る

MA(1) で $\theta=0.8$ 、誤差分散 $\sigma^2=1$ のとき $\gamma_0=(1+0.8^2)\times1=1.64$ 、 $\rho_1=\dfrac{0.8}{1.64}\approx0.488$ 、 $\rho_2=\rho_3=\dots=0$ 。 1期離れた値とは中程度に相関するが、2期以上離れると無相関になる。

つまずきポイント

MA の自己相関が AR のように指数的に減衰し続けると誤解する（MA はラグ2以降が0で“打ち切られる”）
$\rho_1$ を $\theta$ そのものとする（正しくは $\theta/(1+\theta^2)$ 。分母の $1+\theta^2$ を忘れない）
MA と AR を取り違える（MA は過去の“ショック”の和、AR は過去の“値”を引きずる）

定着クイズ

MA(1) $Y_t=\varepsilon_t+\theta\varepsilon_{t-1}$ の自己相関 $\rho_k$ （ $k\ge2$ ）は？

MA(1) の $\rho_1$ は？

AR と MA の自己相関の違いとして正しいのは？