AR

知識マップ

モデリング・用語

ひとことで言うと

現在の値が、直前の値に係数φを掛けたものに新しいランダムな変動（誤差項）を加えて決まる、時系列データの基本モデルです。

こんなデータが従う

保険の損害率や金利の時系列モデル株価リターンの時系列モデル季節性を除いた時系列データのモデリング経済指標（GDP成長率など）の時系列分析死亡率の時間的なトレンドのモデリング

時系列データの「前の値に引かれる」性質をモデル化する最も基本的な手法で、ARIMAなどより複雑なモデルの土台になります。

AR(1)過程の時系列。一定の平均の周りを変動し、|φ|<1ならいつかは平均に引き戻される。

数式で表すと

$\mu=\tfrac{c}{1-\phi},\ \gamma_0=\tfrac{\sigma^2}{1-\phi^2},\ \rho_k=\phi^k$

自己回帰モデル。AR(1) は $Y_t=c+\phi Y_{t-1}+\varepsilon_t$ 。 $|\phi|<1$ で定常。

AR(1)（1次の自己回帰）モデルは

Y_t=c+\phi Y_{t-1}+\varepsilon_t

という式で表され、現在の値

Y_t

が直前の値

Y_{t-1}

に係数φを掛けたものと定数c、そして独立なランダムな誤差項

\varepsilon_t

の合計で決まります。このモデルが定常（concept: 定常性）であるためには

|\phi|<1

が必要です。この条件のもとで、平均は

\mu=\dfrac{c}{1-\phi}

、分散は

\gamma_0=\dfrac{\sigma^2}{1-\phi^2}

（σ²は誤差項の分散）、k期離れた自己相関は

\rho_k=\phi^k

となります。φが1に近いほど自己相関が長く続き（値の変化がゆっくり）、φが0に近いほど各時点の値はほぼ独立に近い振る舞いをします。 |φ|≥1の場合は非定常（分散が時間とともに増大したり、ランダムウォーク（concept: ランダムウォーク）のように発散したりする）になり、AR(1)の標準的な公式（平均・分散・自己相関）は使えなくなります。

試験に出る性質

モデルの式

$Y_t=c+\phi Y_{t-1}+\varepsilon_t$ 。

定常条件

$|\phi|<1$ 。

平均

$\mu=c/(1-\phi)$ 。

分散

$\gamma_0=\sigma^2/(1-\phi^2)$ 。

自己相関

$\rho_k=\phi^k$ （k期離れた値との相関。φが1に近いほど減衰が遅い）。

例で見る

$c=2,\ \phi=0.5,\ \sigma^2=4$ のAR(1)過程の平均は $\mu=2/(1-0.5)=4$ 、分散は $\gamma_0=4/(1-0.25)=16/3\approx5.33$ 。1期離れた自己相関は $\rho_1=0.5$ 。

つまずきポイント

|φ|<1の定常条件を確認せずに平均μ=c/(1-φ)の公式を使う（φ=1だと分母が0になり破綻する）
自己相関ρkをφ×kのように線形に減衰すると誤解する（正しくはφ^kの指数的な減衰）
AR(1)の誤差項εtが各時点で独立であるという前提を忘れる

定着クイズ

AR(1)モデル Yt=c+φYt-1+εt が定常であるための条件は？

c=3, φ=0.4のAR(1)過程の平均μは？

AR(1)過程のk期離れた自己相関ρkは？

関連：#時系列 #定常性 #自己相関 #予測 #MA

この用語を扱う問題（6）