Thieleの微分方程式（連生・応用）

生保数理・定理・責任準備金

ひとことで言うと

SEI037の単生のThiele式を、連生保険や就業不能などの「複数の状態」に広げたもの。いまいる状態から出ていく各遷移について、「（即時給付＋遷移先の準備金）から現在の準備金を引いた差」を、その脱出力で見込んで引く。状態が2つなら単生Thieleに戻る。

いまいる状態から出ていく各遷移について、（即時給付＋遷移先の準備金）と現在の準備金の差を脱出力で見込んで引く。

数式で表すと

\dfrac{d}{dt}{}_t\bar V_{xy}=\delta\,{}_t\bar V_{xy}+\bar P-\left(\mu_{x+t}+\mu_{y+t}\right)\left(1-{}_t\bar V_{xy}\right)

複数の状態を移り変わる保険（連生・就業不能・介護など）の連続時間の責任準備金は、多状態のThieleの微分方程式で表す。状態 $g$ にいるときの準備金 ${}_t\bar V^{(g)}$ は

$\dfrac{d}{dt}{}_t\bar V^{(g)}=\delta\,{}_t\bar V^{(g)}+\bar P^{(g)}-\sum_{h\ne g}\mu^{gh}_{x+t}\left(S^{gh}+{}_t\bar V^{(h)}-{}_t\bar V^{(g)}\right)$

試験に出る性質

各遷移ごとに（遷移先-現在）を脱出力で引く

多状態Thiele $\dfrac{d}{dt}{}_t\bar V^{(g)}=\delta\,{}_t\bar V^{(g)}+\bar P^{(g)}-\sum_{h\ne g}\mu^{gh}_{x+t}\left(S^{gh}+{}_t\bar V^{(h)}-{}_t\bar V^{(g)}\right)$

例で見る

最終生存者型の連生保険で、ある時点において利力 $\delta=0.02$ 、連続純保険料 $\bar P_{xy}=0.03$ 、脱退力 $\mu_{x+t}=0.01$

つまずきポイント

各遷移で引くのは「（即時給付＋遷移先の準備金） $-$ 現在の準備金」であって、遷移先の準備金そのものではない。
脱出力は状態から出る全ての原因の和。連生の共存中は $\mu_{x+t}$ と $\mu_{y+t}$

定着クイズ

第二死亡で保険金1を払う最終生存者型の連生保険（連続払）で、共存中の責任準備金の微分 d/dt tV(xy) の放出項として正しいものはどれか。

最終生存者型の連生保険で δ=0.02、P(xy)=0.03、μ(x+t)=0.01、μ(y+t)=0.015、tV(xy)=0.20、tV(y)=0.35、tV(x)=0.30 のとき、d/dt tV(xy) に最も近いものはどれか。

多状態のThieleの微分方程式で、状態gから状態hへ移るときに引く量として正しいものはどれか。

この用語を扱う問題（3）

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