Thieleの微分方程式（導出）

連続時間での責任準備金の変化を記述する微分方程式。利息収入・保険料・死亡による準備金放出の3要素からなり、大問での導出が頻出。

これらをまとめると

$\dfrac{d}{dt}{}_t\bar V=\delta\,{}_t\bar V+\bar P-\mu_{x+t}\bigl(1-{}_t\bar V\bigr)$

となる。これがThieleの微分方程式である。ファクラーの再帰式 $({}_tV+P)(1+i)={}_{t+1}V\,p_{x+t}+q_{x+t}$ を年 $k$ 回払にして $k\to\infty$ の極限をとると、この微分方程式が導ける（大問では①〜⑯の空欄を埋めながらこの極限操作をたどらせる形が定番）。

$\dfrac{d}{dt}{}_t\bar V=\delta\,{}_t\bar V+\bar P-\mu_{x+t}(1-{}_t\bar V)$

$=0.05\times0.30+0.02-0.01\times(1-0.30)$

$=0.015+0.020-0.007=0.028$

となる。利息と保険料で増える一方、死亡放出でわずかに減り、差し引き毎年 $0.028$ の割合で準備金が増えていることがわかる。