責任準備金と年金現価の関係

養老保険等の責任準備金を年金現価の比で表す恒等式。準備金の水準を年金現価から簡潔に評価でき、感応度分析にも接続する。

養老保険では恒等式

$A_{x:\angl{n}}=1-d\,\ddot a_{x:\angl{n}}$

が成り立つ（保険金1は「毎期 $d$ だけ利息を放棄した期始払年金」とみなせる。$d=iv$ は年始払割引率）。これを使うと $P=\dfrac{1-d\,\ddot a_{x:\angl{n}}}{\ddot a_{x:\angl{n}}}=\dfrac{1}{\ddot a_{x:\angl{n}}}-d$ となる。

これらを将来法 ${}_tV=A_{x+t:\angl{n-t}}-P\,\ddot a_{x+t:\angl{n-t}}$ に代入すると、$A_{x+t:\angl{n-t}}=1-d\,\ddot a_{x+t:\angl{n-t}}$ と合わせて $d$ の項が相殺し

${}_tV_{x:\angl{n}}=1-\dfrac{\ddot a_{x+t:\angl{n-t}}}{\ddot a_{x:\angl{n}}}$

が得られる。準備金は「これから受け取る年金（残り期間の年金現価）の割引比」で決まる。$t=0$ で $0$、$t=n$ で $1$（満期に保険金1を積み終える）。

終身保険なら同じ論法で ${}_tV_x=1-\dfrac{\ddot a_{x+t}}{\ddot a_x}$ となる。予定利率を動かしたときの準備金の反応も、年金現価 $\ddot a$ の変化で読めるので感応度分析（SEI070）の入口になる。

年金現価比で第1保険年度末の責任準備金を求めると

${}_1V_{x:\angl{3}}=1-\dfrac{\ddot a_{x+1:\angl{2}}}{\ddot a_{x:\angl{3}}}=1-\dfrac{1.93333}{2.80444}=0.3106$

となり、将来法 $A_{x+1:\angl{2}}-P\,\ddot a_{x+1:\angl{2}}$（$P\approx0.3090$）で求めた値と一致する（SEI031）。同様に ${}_2V=1-\dfrac{1}{2.80444}=0.6434$、$t=3$ でちょうど $1$ になる。