コンベキシティ（凸性）

知識マップ

投資理論・公式

ひとことで言うと

コンベキシティ（凸性）はデュレーション近似（直線）の誤差を 2 次項で修正する指標。価格 YTM 曲線が上に凸であるため、金利がどちらに動いても「実際の価格 > デュレーション予測」となる。コンベキシティが大きいほど有利。

価格変化率の実際（緑）・デュレーション近似（赤破線）・コンベキシティ修正後（橙破線）。曲線が直線の上にある（上に凸）ので、金利上昇時も下落時も実際の価格は線形近似より高い。

数式で表すと

$\frac{\Delta P}{P} \approx -MD \cdot \Delta y + \frac{1}{2} Cx \cdot (\Delta y)^2$

金利変化に対する価格の2次近似項。ΔP/P ≈ −MD·Δy + (1/2)Cx·(Δy)²。コンベキシティが大きいほど金利変動への抵抗力が高い。

価格変化率の 2 次近似（テイラー展開）：

\frac{\Delta P}{P} \approx -MD \cdot \Delta y + \frac{1}{2} Cx \cdot (\Delta y)^2

ここで

Cx

（コンベキシティ）は

Cx = \frac{1}{P} \frac{d^2 P}{dy^2} = \frac{1}{P(1+y)^2} \sum_{t=1}^{T} t(t+1) \frac{C_t}{(1+y)^t}

コンベキシティは常に正（

Cx > 0

）なので、

\frac{1}{2}Cx(\Delta y)^2 \geq 0

。金利がどちらに動いても、コンベキシティ項が価格にプラスに寄与する。同一デュレーションなら、コンベキシティが大きいほど有利。

試験に出る性質

コンベキシティが大きい債券の特徴

残存期間が長い、クーポンが低い（ゼロクーポン債が最大）、YTM が低い。バーベル戦略（短期・長期集中）は同一デュレーションのブレット（中期集中）よりコンベキシティが大。

コンベキシティが無料ではない理由

コンベキシティが高い債券（ゼロクーポン・長期債など）は人気が集まるため価格が高い（YTM が低い）。「コンベキシティを買うコストは YTM の低下」として市場が均衡する。

デュレーション修正だけでは不十分な場面

金利の大きな変動（50bp 超など）が予想される場合、コンベキシティ補正を含めた 2 次近似が必要。デュレーションのみでは必ず実際の価格を過小評価する。

例で見る

$MD = 7.0$ 、 $Cx = 60$ 、 $\Delta y = +0.01$ （金利 1%上昇）のとき： $\Delta P / P \approx -7.0 \times 0.01 + 0.5 \times 60 \times 0.01^2 = -0.070 + 0.003 = -0.067$ （ $= -6.7\%$ ）。デュレーション近似だけでは $-7.0\%$ となり $0.3\%$ 過大推定になる。

つまずきポイント

コンベキシティ項 $\frac{1}{2} Cx \cdot (\Delta y)^2$ は常に正。金利上昇でも下落でも $(\Delta y)^2 \geq 0$ なのでプラス寄与。「コンベキシティ項がマイナスになることがある」は誤り。
コンベキシティの単位は「年²」に相当。MD の単位（年）と異なるため、数値の大小を MD と比較しても意味がない。

定着クイズ

$MD = 5.0$ 、 $Cx = 40$ 、 $\Delta y = +0.02$ （金利 2%上昇）のとき、コンベキシティ修正込みの価格変化率はいくらか。

同一のデュレーションを持つ 2 つのポートフォリオ A（バーベル）と B（ブレット）を比較したとき、正しい記述はどれか。

コンベキシティ項 $\frac{1}{2} Cx \cdot (\Delta y)^2$ について正しいものはどれか。