コンベキシティ（凸性）

投資理論・公式・債券投資分析

ひとことで言うと

コンベキシティ（凸性）はデュレーション近似（直線）の誤差を 2 次項で修正する指標。価格 YTM 曲線が上に凸であるため、金利がどちらに動いても「実際の価格 > デュレーション予測」となる。コンベキシティが大きいほど有利。

価格変化率の実際（緑）・デュレーション近似（赤破線）・コンベキシティ修正後（橙破線）。曲線が直線の上にある（下に凸）ので、金利上昇時も下落時も実際の価格は線形近似より高い。

\frac{\Delta P}{P} \approx -MD \cdot \Delta y + \frac{1}{2} Cx \cdot (\Delta y)^2

価格変化率の 2 次近似（テイラー展開）： $\frac{\Delta P}{P} \approx -MD \cdot \Delta y + \frac{1}{2} Cx \cdot (\Delta y)^2$

2次近似とコンベキシティの逆算

$\Delta P/P\approx-MD\cdot\Delta y+\tfrac12 Cx(\Delta y)^2$

$MD = 7.0$ 、 $Cx = 60$ 、 $\Delta y = +0.01$ （金利 1%上昇）のとき：

$\Delta P / P \approx -7.0 \times 0.01 + 0.5 \times 60 \times 0.01^2 = -0.070 + 0.003 = -0.067$

コンベキシティ項 $\frac{1}{2} Cx \cdot (\Delta y)^2$ は常に正。金利上昇でも下落でも $(\Delta y)^2 \geq 0$

$MD = 5.0$ 、 $Cx = 40$ 、 $\Delta y = +0.02$ （金利 2%上昇）のとき、コンベキシティ修正込みの価格変化率はいくらか。

同一のデュレーションを持つ 2 つのポートフォリオ A（バーベル）と B（ブレット）を比較したとき、正しい記述はどれか。

コンベキシティ項 $\frac{1}{2} Cx \cdot (\Delta y)^2$ について正しいものはどれか。