修正デュレーション

投資理論・公式

ひとことで言うと

修正デュレーション（MD）は「YTM が 1% 上昇したとき、債券価格が何%下落するか」の目安。残存期間が長い・クーポンが低い・YTM が低いほど MD は大きく、金利リスクが高い。

YTM=6%を基準とした価格変化率の実際（緑）・デュレーション近似（赤破線）・コンベキシティ修正後（橙破線）の比較。デュレーション近似は直線で、大きな金利変動では誤差が生じる。

$MD = -\frac{1}{P}\frac{dP}{dy}, \quad \frac{\Delta P}{P} \approx -MD \cdot \Delta y$

金利 y が微小変化 Δy したときの価格変化率の近似：ΔP/P ≈ −MD·Δy。MD = マコーレーD/(1+y)。金利リスクの主要指標。

修正デュレーション（MD: Modified Duration）は

MD = -\frac{1}{P}\frac{dP}{dy} \approx \frac{\Delta P / P}{\Delta y}

（の絶対値）であり、金利

\Delta y

の変化に対する価格変化率の近似を与える：

\frac{\Delta P}{P} \approx -MD \cdot \Delta y

マコーレー・デュレーション（

D

）との関係：

MD = D / (1+y)

。マコーレー・デュレーションはキャッシュフローの「加重平均回収期間」（重みは各キャッシュフローの現在価値）で、直感的には「債券価格の重心となる年限」。ゼロクーポン債の

D = T

（残存年数）、利付債の

D < T

。

MD の感応度の向き

$\Delta y > 0$ （金利上昇）ならば $\Delta P / P < 0$ （価格下落）。MD が大きいほど金利上昇時の損失が大きい（金利リスク大）。

ポートフォリオの MD は保有比率の加重平均

$MD_P = \sum_i w_i MD_i$ 。ポートフォリオ全体の金利感応度は各銘柄の MD の加重平均で求まる。

デュレーション近似が有効なのは小さな金利変動のみ

大きな金利変動では直線近似の誤差（コンベキシティ項）が無視できなくなる。より精密には 2 次近似（コンベキシティ補正）を使う（R021）。

MD = 5.0、YTM が 0.5%（= 0.005）上昇したとき： $\Delta P / P \approx -5.0 \times 0.005 = -0.025$ （ $= -2.5\%$ ）。債券価格が約 2.5% 下落する。

「修正デュレーション」と「マコーレー・デュレーション」を混同しない。 $MD = D/(1+y)$ 。試験で「デュレーション」と書いてある場合、文脈からどちらかを判断する。
$\Delta P / P \approx -MD \cdot \Delta y$ の $\Delta y$ は「パーセンテージポイント」ではなく「小数表示」。金利 1% 上昇 $= \Delta y = 0.01$ 。

修正デュレーション $MD = 6.0$ の債券で YTM が 0.5%（0.005）上昇したとき、価格変化率の近似値はいくらか。

マコーレー・デュレーション $D = 8.0$ 、YTM $= 4\%$ のとき、修正デュレーション $MD$ はいくらか（小数第 2 位まで）。

次のうち修正デュレーションが最も大きくなる債券はどれか（他の条件は同一）。