スポットレート・ディスカウントファクター

投資理論・公式

ひとことで言うと

スポットレートは「今から $t$ 年後に 1 円受け取るゼロクーポン債の利回り」。ディスカウントファクター（現価係数）はその現在価値。利付債はゼロクーポン債の束としてスポットレートで正確に価格付けできる。

右上がりのスポットレートカーブ（緑）とフォワードレートカーブ（赤破線）。右上がりの場合、フォワードレートは常にスポットレートより上に位置する（平均を引き上げる効果）。

数式で表すと

$d_t = \frac{1}{(1+z_t)^t}, \quad P = \sum_{t=1}^T C \cdot d_t + F \cdot d_T$

t年スポットレート z_t：t年後に1単位受け取るゼロクーポン債の利回り。ディスカウントファクター d_t = 1/(1+z_t)^t。利付債価格 = Σ C·d_t + F·d_T。

t

年スポットレート

z_t

とディスカウントファクター

d_t

の関係：

d_t = \frac{1}{(1+z_t)^t}

利付債の価格はスポットレートで厳密に計算できる：

P = \sum_{t=1}^{T} C \cdot d_t + F \cdot d_T = \sum_{t=1}^{T} \frac{C}{(1+z_t)^t} + \frac{F}{(1+z_T)^T}

YTM は「スポットレートの加重平均的な 1 本の利回り」と解釈でき、各期で異なるスポットレートを単一の割引率で近似したもの。

試験に出る性質

スポットレートとYTMの関係

イールドカーブが右上がりならば YTM < 長期スポットレート（クーポン支払いが早い期間のより低いスポットレートが平均に引き下げ方向に影響）。

ゼロクーポン債価格の直接計算

$t$ 年後に額面 $F$ を支払うゼロクーポン債の価格 $= F \cdot d_t = F / (1+z_t)^t$ 。スポットレートで直接計算できる。

ブートストラップ法でスポットレートを推定

利付債の市場価格から短い年限から順に $z_1, z_2, \ldots$ を逐次的に求める方法。各 $z_t$ は前の $z_1, \ldots, z_{t-1}$ を使って計算する。

例で見る

$z_1 = 2\%$ 、 $z_2 = 3\%$ のとき、額面 100・クーポン 4%・残存 2 年の債券価格： $P = \frac{4}{1.02} + \frac{104}{1.03^2} = 3.92 + 98.04 = 101.96$ YTM（ $y$ ）で同じ価格になるのは $y \approx 2.97\%$ 。 $z_2 = 3\%$ より若干低い（クーポン分が低い $z_1$ で割り引かれるため）。

つまずきポイント

「スポットレートで割り引く」と「YTM で割り引く」は別の計算。スポットレート計算の方が厳密で、YTM は近似（加重平均）にすぎない。
ディスカウントファクター $d_t = 1/(1+z_t)^t$ の指数は $t$ （年数）。 $d_t = 1/(1+z_t)$ （1 乗）と書かない。

定着クイズ

$z_1 = 3\%$ （1 年スポットレート）のとき、1 年後に 100 を受け取るゼロクーポン債の現在価格はいくらか（小数第 2 位まで）。

$z_1 = 2\%$ 、 $z_2 = 3\%$ のとき、クーポン 5・額面 100・残存 2 年の利付債価格をスポットレートで計算するといくらか（小数第 2 位まで）。

スポットレートと YTM の関係について正しい記述はどれか。