ボックスミュラー

一様乱数2個から独立な標準正規2個を厳密生成する方法。

発想の鍵は極座標です。2次元の標準正規 $(Z_1,Z_2)$ を半径 $R=\sqrt{Z_1^2+Z_2^2}$ と角度 $\Theta$ で表すと、角度 $\Theta$ は $(0,2\pi)$ 上の一様分布、半径の2乗 $R^2=Z_1^2+Z_2^2$ は平均2の指数分布（＝自由度2のχ²分布）に従う、という性質があります。そこで逆に、一様乱数からこの $R$ と $\Theta$ を作ってやればよい、というのがアイデアです。$\Theta=2\pi U_2$ で角度の一様分布を作り、$R^2=-2\ln U_1$（指数分布は逆関数法で一様乱数から作れる）で半径を作り、$Z_1=R\cos\Theta,\ Z_2=R\sin\Theta$ と直交座標に戻すと、ちょうど独立な標準正規2個になります。

重要なのは、これが近似ではなく厳密な乱数生成だという点です。正規近似（二項やポアソンを正規で近似する話）と混同しがちですが、両者はまったく別物です。正規近似は「扱いにくい分布を正規分布でだいたい同じとみなす」近似手法であるのに対し、ボックス＝ミュラー法は「真の標準正規分布に厳密に従う乱数を作る」生成手法です。近似誤差は一切なく、変換の正確さは確率変数の変数変換（ヤコビアン）で証明できます。

$Z_1=1.177\cos(\pi/2)=0$、$Z_2=1.177\sin(\pi/2)\approx1.177$。

1組の一様乱数から、独立な標準正規が2個（$Z_1,Z_2$）得られる。