ポアソン分布の精密法による区間推定

観測度数と $\chi^2$ 分布の分位点だけからポアソン平均の信頼区間を構成する方法。標準誤差を用いた正規近似（点推定 $\pm$ 臨界値 $\times$ 標準誤差）を一度も使わないため、度数が小さいときも信頼係数が保たれる。自由度は下限側が $2X$、上限側が $2(X+1)$ と非対称になる。

【なぜ自由度が非対称になるか】 下限は「真の平均が $\mu_L$ だったとして、これほど多く（$X$ 以上）観測される確率が $\alpha/2$」から決めます。ポアソン分布と $\chi^{2}$ 分布の関係 $P(X\ge x\mid\mu)=P(\chi^{2}_{2x}\le 2\mu)$ を使うので、自由度は $2x$ になります。 上限は逆に「真の平均が $\mu_U$ だったとして、これほど少なく（$X$ 以下）観測される確率が $\alpha/2$」から決めます。こちらの関係は $P(X\le x\mid\mu)=P(\chi^{2}_{2(x+1)}\ge 2\mu)$ なので、自由度は $2(x+1)$ になります。不等号の向きが逆なので、$+1$ が付くのは上限側だけです。

【近似法との違い】 正規近似による区間（近似法）は、ポアソン分布の分散が平均に等しいことを使って $X\pm z_{\alpha/2}\sqrt{X}$ とするもので、点推定を中心に左右対称です。精密法は分位点だけで作るので上側に長くなり、区間の中心は点推定より高い側にずれます。幅も近似法より広くなります。度数が小さいほど両者の差は開くので、精密法が要るのは度数が小さいときです。

$\dfrac{12.401}{2}=6.2005\ \le\ 8\lambda\ \le\ \dfrac{41.923}{2}=20.9615$

となり、1週あたりでは $0.775\le\lambda\le2.620$ です。同じ $X=12$ を近似法で扱うと $12\pm1.96\sqrt{12}=(5.21,\ 18.79)$ で幅は約 $13.6$、精密法の幅は約 $14.8$ と広く、中心も $13.6$ 付近と点推定の $12$ より上にずれます。