リスク尺度の公理・大小関係

損保数理・定理・リスク尺度

先に確認：VaR・TVaR

ひとことで言うと

「良いリスク尺度」が満たすべき4つのルール（公理）がある。VaRはこのうち「合算すればリスクは増えないはず」というルール（劣加法性）を満たさないことがあり、そのためTVaRのほうが理論的に優れているとされる。

コヒーレント・リスク尺度の4公理のうち、VaRは劣加法性を満たさないことがある。

\text{劣加法性}:\ \rho(X+Y)\le\rho(X)+\rho(Y);\qquad \mathrm{VaR}_\alpha(X)\le\mathrm{TVaR}_\alpha(X)

コヒーレント（整合的）リスク尺度が満たすべき4公理は単調性・正同次性・平行移動不変性・劣加法性

$\text{劣加法性}:\ \rho(X+Y)\le\rho(X)+\rho(Y)$

である。VaRは一般にこの劣加法性を満たさないが、TVaRは満たす。同一の信頼水準では

$\mathrm{VaR}_\alpha(X)\le(\text{歪みリスク尺度})\le\mathrm{TVaR}_\alpha(X)$

コヒーレント・リスク尺度の4公理

コヒーレント・リスク尺度が満たすべき4公理は単調性・正同次性・平行移動不変性・劣加法性である（2023年度問題1）。

VaRは劣加法性を満たさないことがある

VaRは一般に劣加法性 $\rho(X+Y)\le\rho(X)+\rho(Y)$ を満たさない（リスクを合算するとVaRが個々の和を超えることがある）が、TVaRは劣加法性を満たす（2017年度問題1、2025年度問題1）。

同一水準ではVaR≤歪みリスク尺度≤TVaR

独立な2つのリスク $X,Y$ が、それぞれ確率0.98で0、確率0.02で100の損失を発生させるとする。単独では $\Pr(X>0)=0.02<0.025$ なので $\mathrm{VaR}_{0.975}(X)=\mathrm{VaR}_{0.975}(Y)=0$

コヒーレント・リスク尺度が満たすべき4公理に含まれないものはどれか。

劣加法性を満たすリスク尺度として正しいものはどれか。

同一の信頼水準αでのVaR・歪みリスク尺度・TVaRの大小関係として正しいものはどれか。