VaR・TVaR

損保数理・公式・リスク尺度

ひとことで言うと

損失がどの水準までなら「まず起こらない」と言えるかを表す境界値（VaR）と、その境界を超えてしまった場合に平均してどれくらいの損失になるか（TVaR）。TVaRのほうが裾の重さ（大惨事のリスク）をより反映する。

VaRαは分位点、TVaRαはVaRを超えた損失の条件付き期待値で、TVaR≥VaRとなる。

数式で表すと

\mathrm{VaR}_\alpha(X)=F_X^{-1}(\alpha),\quad \mathrm{TVaR}_\alpha(X)=\dfrac{1}{1-\alpha}\int_\alpha^1 \mathrm{VaR}_u(X)\,du=E\!\left[X\mid X>\mathrm{VaR}_\alpha(X)\right]

VaR（バリュー・アット・リスク）は損失分布の上側分位点で、信頼水準 $\alpha$ のもとで超過確率が $1-\alpha$ となる損失額。TVaR（テイルVaR、期待ショートフォール）は VaR を超える損失の条件付き期待値で、裾の重さを反映する。連続分布では $\mathrm{TVaR}_\alpha \ge \mathrm{VaR}_\alpha$

VaR（バリュー・アット・リスク）は損失分布の上側分位点

$\mathrm{VaR}_\alpha(X)=F_X^{-1}(\alpha)$

で、信頼水準 $\alpha$

試験に出る性質

VaRは分位点、TVaRは超過分の条件付き期待値

VaRは損失分布の上側分位点（超過確率 $1-\alpha$ となる損失額）であり、TVaRはそのVaRを超える損失の条件付き期待値（裾の重さを反映）である（2016年度問題1、2022年度問題2）。

連続分布では常にTVaR≥VaR

連続分布では $\mathrm{TVaR}_\alpha\ge\mathrm{VaR}_\alpha$

例で見る

損失 $X$ が指数分布（平均 $\theta=10$ ）に従うとする。 $\alpha=0.95$ のVaRは、 $1-e^{-x/10}=0.95$

つまずきポイント

TVaRはVaRを超える損失の「条件付き期待値」であり、単にVaRに何かを掛けた値ではない。
連続分布ではTVaR≥VaRが常に成り立つが、離散分布ではこの大小関係が単純に成り立たない場合がある。
分位点の計算（F⁻¹(α)）では、累積分布関数Fの定義（上側か下側か）を問題文で確認する必要がある。

定着クイズ

損失Xが指数分布（平均20）に従うとき、α=0.90のVaRに最も近いものはどれか（ln10≈2.303）。

指数分布（平均15）に従う損失について、 $\alpha=0.9$ のVaRが約34.5のとき、 $\mathrm{TVaR}_{0.9}$ に最も近いものはどれか。

VaRとTVaRの関係について正しいものはどれか（連続分布の場合）。

この用語を扱う問題（9）

リスク尺度の公理・大小関係→