三大疾病保障保険

がん・急性心筋梗塞・脳卒中の所定状態で給付する保険。各疾病の発生率を多重脱退的に扱い給付現価を評価する。

ここで $l_x$ は $x$ 歳の非罹患者数、$d_x$ は死亡数、$i_x$ は罹患数である。予定三大疾病罹患率は

$q^{i}_x=\dfrac{i_x}{l_x}$

と定義する。罹患した者が回復して非罹患者に戻ることはない、という前提が置かれるのが通例で、これによって残存表は一方向にしか動かなくなる。

死亡給付が責任準備金のとき、死亡率は消える

出題では「三大疾病非罹患者のまま死亡した場合、その保険年度末における平準純保険料式責任準備金を支払う」という条件が置かれる。このとき責任準備金の再帰式は次のようになる。

$l_x({}_0V+P)=v\Big[(l_x-d_x-i_x)\,{}_1V+d_x\,{}_1V+i_x\,(\text{罹患給付})\Big]$

死亡した人にも生き残った人と同じ ${}_1V$ を渡すので、$(l_x-d_x-i_x)+d_x=l_x-i_x$ とまとまり、$d_x$ が式から消える。両辺を $l_x$ で割ると

${}_tV=v\Big[(1-q^{i})\,{}_{t+1}V+q^{i}\,(\text{罹患給付})\Big]$

となり、予定死亡率がどこにも現れない。だから設問で死亡率が与えられていなくても解ける。

再帰式を足し上げて閉じた形にする

罹患給付が「罹患した保険年度末から満期まで年金額1の確定年金」なら、第 $t+1$ 保険年度末での価値は期始払の $\ddot a_{\angl{n-t}}$ になる（罹患年度末が第1回の支払だから）。上の再帰式の両辺に $v^{t}(1-q^{i})^{t}$ を掛けて $t=0$ から $n-1$ まで足すと、${}_tV$ が望遠鏡的に相殺し、${}_0V=P$・${}_nV=0$ を使って

$P=v\,q^{i}\displaystyle\sum_{t=0}^{n-1}\big(v(1-q^{i})\big)^{t}\,\ddot a_{\angl{n-t}}$

という閉じた形になる。$\ddot a_{\angl{n-t}}=\dfrac{1-v^{n-t}}{1-v}$ を代入すれば、等比級数2本の差に整理できる。

「罹患した者が回復して非罹患者に復帰することはない」という前提が置かれるので、残存表は一方向にしか動かない。予定罹患率は $q^{i}_x=i_x/l_x$（絶対罹患率ではなく脱退率として定義される点に注意）。

$\ddot a_{\angl{5-t}}=\dfrac{1-v^{5-t}}{1-v}$ を入れて計算すると

$P=0.137712$

となる。よくある取り違えを数値で見ると、期始払 $\ddot a$ のかわりに期末払 $a$ を使うと0.135012、$(1-q^{i})^{t}$ を落とすと0.139537、支払回数を $n-t-1$ 回と数えると0.093322になる。とくに罹患した年度の年度末が第1回の支払という点を落とすと、大きくずれる。