到達年齢方式

分子は在職者の将来の加入期間に対応する給付現価、分母は在職者の給与現価（Trowbridge モデルなら人数現価）である。過去期間分 $S^{a}_{PS}$ は標準保険料でまかなわず、未積立債務として特別保険料で償却する。

加入年齢方式・開放基金方式との関係

3方式の分子・分母を並べると関係が見える。

・到達年齢方式：$^{A}\!P=S^{a}_{FS}/G^{a}$（いまの在職者だけ） ・加入年齢方式：$^{E}\!P=S^{f}/G^{f}$（将来加入見込者だけ） ・開放基金方式：$^{OAN}\!P=(S^{a}_{FS}+S^{f})/(G^{a}+G^{f})$（両方）

分子どうし・分母どうしを足したものが開放基金方式なので、開放基金方式は到達年齢方式と加入年齢方式の加重平均になる。

$^{OAN}\!P=\dfrac{{}^{A}\!P\,G^{a}+{}^{E}\!P\,G^{f}}{G^{a}+G^{f}}$

したがって $^{OAN}\!P$ は必ず $^{A}\!P$ と $^{E}\!P$ のあいだに来る。3つの比が与えられれば $G^{f}/G^{a}$ が逆算できる、というのが本試験の使い方である。

比から人数現価の比を出す

$^{A}\!P:{}^{E}\!P:{}^{OAN}\!P=a:b:c$ とすると、上の加重平均を整理して

$\dfrac{G^{f}}{G^{a}}=\dfrac{a-c}{c-b}$

が出る。$c$ が $a$ と $b$ のあいだにあるので分子・分母とも同符号になり、比は正になる。$c$ が $b$ に近いほど $G^{f}$ が大きい——将来加入見込者の重みが大きければ開放基金方式は加入年齢方式に寄る、という自然な読み方ができる。

・$S^{f}=329{,}812.82$、$G^{f}=132{,}564.40$

（1）3方式の標準保険料率

・到達年齢方式 $^{A}\!P=13{,}369.29/5{,}135.60=2.603257$

・加入年齢方式 $^{E}\!P=329{,}812.82/132{,}564.40=2.487944$

・開放基金方式 $^{OAN}\!P=(13{,}369.29+329{,}812.82)/(5{,}135.60+132{,}564.40)=2.492245$

たしかに $^{E}\!P<{}^{OAN}\!P<{}^{A}\!P$ である。

（2）加重平均として組み立て直す

$\dfrac{2.603257\times 5{,}135.60+2.487944\times 132{,}564.40}{5{,}135.60+132{,}564.40}=2.492245$

で（1）と一致する。$G^{f}$ が $G^{a}$ の約26倍あるので、開放基金方式はほとんど加入年齢方式の値になっている。

（3）本試験（2018年度問題1(5)）の再現

$^{A}\!P:{}^{E}\!P:{}^{OAN}\!P=a:b:c$ から $G^{f}/G^{a}$ を求める設問である。

$c(G^{a}+G^{f})=aG^{a}+bG^{f}\ \Longrightarrow\ (c-b)G^{f}=(a-c)G^{a}\ \Longrightarrow\ \dfrac{G^{f}}{G^{a}}=\dfrac{a-c}{c-b}$

公式解の(Ｄ)と一致する。トイモデルの数値を入れると

$\dfrac{2.603257-2.492245}{2.492245-2.487944}=25.81$

で、実測の $G^{f}/G^{a}=132{,}564.40/5{,}135.60=25.81$ と一致する。