相関尺度・多変量正規分布

損保数理・用語・コピュラ・従属構造

ひとことで言うと

2つの確率変数がどれだけ一緒に動くかを表す最も基本的な指標が相関係数。正規分布同士なら、相関係数さえ分かれば従属関係のすべてが決まるが、一般の分布ではそう単純ではない。

2変量正規分布では、XからYの条件付き期待値は線形（xの1次式）になる。

\rho=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}

E[Y\mid X=x]=\mu_Y+\rho\dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x-\mu_X)

ピアソンの相関係数と多変量（2変量）正規分布による従属関係の記述。正規分布では無相関と独立が一致し、条件付き分布も正規分布になる。一般には相関係数は周辺分布に依存し、無相関でも独立とは限らない点に注意する。

相関係数は

$\rho=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$

相関係数は周辺分布に依存する

相関係数は周辺分布に依存する量であり、同じ従属構造（コピュラ）でも周辺分布が異なれば相関係数の値も変わる（2022年度問題2）。

無相関は一般には独立を意味しない

無相関（ $\rho=0$ ）は独立を意味しない。ただし多変量正規分布に限り、無相関と独立は一致する（2022年度問題2）。

2変量正規分布の条件付き期待値は線形になる

2変量正規分布では、条件付き期待値 $E[Y\mid X=x]=\mu_Y+\rho(\sigma_Y/\sigma_X)(x-\mu_X)$

$\mu_X=10,\mu_Y=20,\sigma_X=2,\sigma_Y=3,\rho=0.6$

相関係数は周辺分布に依存するため、同じ従属構造でも周辺分布を変えると相関係数の値も変わる。従属の強さを比較する際は、周辺分布に依存しない順位相関係数（ケンドールのτ等）を使うほうが適切な場合がある。
無相関は独立を意味しない。この性質は多変量正規分布のような特殊な場合を除いて一般には成り立たない。
2変量正規分布の条件付き期待値は線形になるが、正規分布以外の従属構造では条件付き期待値が線形になるとは限らない。

μX=5,μY=15,σX=4,σY=6,ρ=0.5の2変量正規分布でX=9が観測されたとき、E[Y|X=9]に最も近いものはどれか。

相関係数が0（無相関）であることの意味として正しいものはどれか。

相関係数の性質として正しいものはどれか。