共単調性・反単調性

損保数理・用語・コピュラ・従属構造

ひとことで言うと

2つの確率変数の従属関係のうち、最も強い正の関係（一方が増えれば他方も必ず増える＝共単調）と最も強い負の関係（一方が増えれば他方は必ず減る＝反単調）。どんな従属関係も、この2つの「極端な形」の間に必ず収まる。

共単調（完全正の従属）は右肩上がり、反単調（完全負の従属）は右肩下がりの関係になる。

\max(u+v-1,0)\le C(u,v)\le\min(u,v)

共単調（完全正の従属）は一方が増えれば他方も必ず増える関係で、コピュラは上限

共単調（完全正の従属）は一方が増えれば他方も必ず増える関係で、コピュラは上限 $M(u,v)=\min(u,v)$ 、ケンドール $\tau=1$ となる。反単調（完全負の従属、2変量のみ）は下限 $W(u,v)=\max(u+v-1,0)$

共単調のコピュラは上限M(u,v)=min(u,v)、τ=1

共単調（完全正の従属）のコピュラは上限 $M(u,v)=\min(u,v)$ で、ケンドール $\tau=1$ になる（2023年度問題3）。

反単調のコピュラは下限W(u,v)=max(u+v-1,0)、τ=-1

反単調（完全負の従属、2変量のみ成立）のコピュラは下限

反単調のコピュラ $W(u,v)=\max(u+v-1,0)$ のもとで

$W(0.3,0.6)=\max(0.3+0.6-1,0)=\max(-0.1,0)=0$

反単調コピュラW(u,v)=max(u+v-1,0)で、W(0.4,0.5)の値として正しいものはどれか。

共単調な従属関係のケンドールτの値として正しいものはどれか。

任意のコピュラC(u,v)が満たす不等式として正しいものはどれか。