クレイトン・コピュラ

損保数理・公式・コピュラ・従属構造

ひとことで言うと

アルキメデス型コピュラの代表選手。2つのリスクが「両方とも小さい」時に強く関連しあうという特徴（下側の裾従属）をもつ。ケンドールのτから、モデルのパラメータθを逆算できる。

クレイトン・コピュラは下側の裾（両方とも小さい領域）に点が集中する従属構造をもつ。

C(u,v)=\big(u^{-\theta}+v^{-\theta}-1\big)^{-1/\theta}\ (\theta>0),\qquad \tau=\dfrac{\theta}{\theta+2}

クレイトン・コピュラは

$C(u,v)=\big(u^{-\theta}+v^{-\theta}-1\big)^{-1/\theta}\ (\theta>0)$

クレイトン・コピュラは下側の裾に従属をもつ

クレイトン・コピュラはアルキメデス型コピュラの代表例で、下側の裾（左裾）に従属をもつ（両方の変数が同時に小さくなりやすい）（2018年度問題1、2019年度問題3）。

τ=θ/(θ+2)からθを逆算できる

パラメータ $\theta$ とケンドール $\tau$ は $\tau=\theta/(\theta+2)$

標本から推定したケンドール $\tau=0.6$ のとき

$0.6=\dfrac{\theta}{\theta+2}\ \Rightarrow\ 0.6\theta+1.2=\theta\ \Rightarrow\ \theta=3.0$

クレイトン・コピュラは下側（左裾）にのみ強い従属をもち、上側（右裾）の従属は弱い（裾従属係数λU=0）という非対称な性質をもつ。グンベル・コピュラ（上側裾従属）と混同しない。
パラメータθは正の値（θ>0）でなければ定義できない。
τ=θ/(θ+2)の関係式は、標本から推定したτを使ってθを逆算する手順であることに注意する。

標本のケンドールτ=0.5のとき、クレイトン・コピュラのパラメータθに最も近いものはどれか。

クレイトン・コピュラの裾従属の性質として正しいものはどれか。

クレイトン・コピュラのパラメータθの範囲として正しいものはどれか。