ケンドールのτ

損保数理・公式・コピュラ・従属構造

ひとことで言うと

2つのデータの組を全ペア見比べて、「両方とも大きい方が大きい（一致）」か「片方だけ大きい（不一致）」かを数え、その差から従属の強さを測る順位相関係数。単位やスケールを変えても値が変わらないのが特徴。

一致対と不一致対の差を全ペア数で割ってケンドールのτを求める。

\tau=\dfrac{C-D}{\binom{n}{2}}\ (C:\text{一致対},\ D:\text{不一致対}),\qquad \tau=4\!\iint C(u,v)\,dC(u,v)-1

順位相関係数の一つ。2つの観測対が同順（concordant）か逆順（discordant）かの符号で従属の強さを測る。標本では一致対と不一致対の差を全対数で割って求める。単調変換に不変で、コピュラのみに依存する。

ケンドールの $\tau$ は、標本の全ペアのうち一致対（concordant、両方とも大小関係が揃っているペア）と不一致対（discordant）の差を全ペア数で割った

$\tau=\dfrac{C-D}{\binom{n}{2}}$

τは一致対と不一致対の差を全ペア数で割って求める

ケンドールのτは、標本の全ペアのうち一致対（concordant）と不一致対（discordant）の差を全ペア数 $\binom{n}{2}$ で割って求める（2016年度問題2、2019年度問題1）。

τは単調変換に不変でコピュラのみに依存する

ケンドールのτは単調変換に不変であり、コピュラ（従属構造）のみに依存する量である（周辺分布の形には依存しない）（2022年度問題2）。

5組のデータペアがあり、全ペア数は $\binom{5}{2}=10$ 。そのうち一致対が7組、不一致対が3組だったとすると

$\tau=(7-3)/10=0.4$

6組のデータペア（全ペア数15）のうち、一致対が11組、不一致対が4組のとき、ケンドールτに最も近いものはどれか。

ケンドールのτの性質として正しいものはどれか。

4組のデータペア（全ペア数6）で一致対4組、不一致対2組のとき、τに最も近いものはどれか。