連生平均余命

生保数理・公式・連生

ひとことで言うと

2人を1組にしたときの「平均であと何年」。2人とも生きている状態が続く年数の平均が同時生存の平均余命、少なくとも一方が生きている年数の平均が最終生存者の平均余命。後者は前者から足し引きだけで出せる。

同時生存の平均余命はどちらの単独よりも短く、最終生存者はどちらよりも長い。4つの和には恒等式が成り立つ。

\mathring e_{xy}=\int_0^{\infty}{}_tp_{xy}dt,\quad \mathring e_{\overline{xy}}=\mathring e_x+\mathring e_y-\mathring e_{xy}

平均余命は生存確率を時間で積分したものなので、連生でも定義はそのまま拡張できる。

$\mathring e_{xy}=\int_0^{\infty}{}_tp_{xy}\,dt,\qquad \mathring e_{\overline{xy}}=\int_0^{\infty}{}_tp_{\overline{xy}}\,dt$

最終生存者の平均余命は、積分し直さず包除で出せる

${}_tp_{\overline{xy}}={}_tp_x+{}_tp_y-{}_tp_{xy}$

de Moivre型で極限年齢を $a=100$ 、 $(x)=40$ 歳、 $(y)=60$ 歳とする。

単独の平均余命は

$\mathring e_x=\frac{100-40}{2}=30,\qquad \mathring e_y=\frac{100-60}{2}=20$

$\mathring e_x=30$ 、 $\mathring e_y=20$ 、 $\mathring e_{xy}=15.6$ のとき、最終生存者の平均余命 $\mathring e_{\overline{xy}}$ に最も近いものはどれか。

2生命の平均余命について常に成り立つ関係はどれか。

de Moivre型の死力で極限年齢が100歳、 $(x)=50$ 歳、 $(y)=70$ 歳のとき、同時生存の平均余命 $\mathring e_{xy}$ の値はどれか。