3生命以上の連生

3生命以上の連生における生存・死亡・順序の確率と給付現価。包除原理を一般化し、条件付給付を含む複雑な給付を評価する。

${}_tp_{\overline{xyz}}=({}_tp_x+{}_tp_y+{}_tp_z)-({}_tp_{xy}+{}_tp_{yz}+{}_tp_{zx})+{}_tp_{xyz}$

2つ目の式が包除原理である。2生命の ${}_tp_{\overline{xy}}={}_tp_x+{}_tp_y-{}_tp_{xy}$ に、符号を交互に変えながら3人組の項が付いただけで、考え方は変わらない。

生存者数に応じて年金額が変わる年金

3生命の出題で最も多いのがこの型である。時点 $t$ の生存者数を $N$、そのときの給付額を $f(N)$ とする。$f(N)$ を

$f(N)=a\,N+b\dbinom{N}{2}+c\dbinom{N}{3}$

の形に書き直せれば、年金現価は次の線形結合になる。

$a\,(a_x+a_y+a_z)+b\,(a_{xy}+a_{yz}+a_{zx})+c\,a_{xyz}$

理由は期待値の形にある。$E[N]$ は「各人が生存する確率の和」、$E\!\left[\dbinom{N}{2}\right]$ は「2人組がともに生存する確率の和」、$E\!\left[\dbinom{N}{3}\right]$ は「3人とも生存する確率」だからである。

係数は $f(1)=a$、$f(2)=2a+b$、$f(3)=3a+3b+c$ を順に解くだけで出る。人数が4人以上でも、$\dbinom{N}{4}$ の項を足して同じ手順を続ければよい。

連続モデル（死力・利力が一定の場合）

死力・利力が一定なら、3生命の給付現価はすべて $\dfrac{1}{\delta+k\mu}$ の形の和に落ちる。たとえば男性の死力 $2\mu$、女性の死力 $\mu$、利力 $\delta$ という設定で3人（男・女・男）を考えると、全員生存の指数は $\delta+5\mu$ となり、誰か1人が脱けた状態では $\delta+4\mu$ や $\delta+2\mu$ が現れる。

「特定の1人が最初に死亡したときに保険金1を即時払いする」給付現価は、その人の死力を分子に置いた

$\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-(\delta+5\mu)t}\,\mu_{\text{その人}}\,dt=\frac{\mu_{\text{その人}}}{\delta+5\mu}$

となる。分子が死力、分母が「利力＋全員の死力の合計」という形を覚えておくと、条件付き給付でも積分を書き下せる。

係数を順に解くと

$f(1)=a=2$

$f(2)=2a+b=5\ \Rightarrow\ b=1$

$f(3)=3a+3b+c=10\ \Rightarrow\ c=1$

したがって年金現価は

$2\times24+1\times15+1\times4=67$

となる。給付額が「1人あたり定額」なら $b=c=0$ となり、単生の年金現価の和だけで済む。$b,c$ が残るのは、人数が減ったときに1人あたりの取り分が増減する設計になっているためである。