今日の1問

損保数理・経験料率・クレディビリティ理論 4

確率変数 $Y$ が確率密度関数 $f(y)=\dfrac{\theta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,y^{\alpha-1}e^{-\theta y}\qquad(y>0)$ で与えられるガンマ分布 $\Gamma(\alpha,\theta)$ に従うとき、 $X=\dfrac{1}{Y}$ の従う確率分布を逆ガンマ分布 $\mathrm{IG}(\alpha,\theta)$ と呼ぶこととする。この分布の期待値と分散はそれぞれ $E[X]=\dfrac{\theta}{\alpha-1}$ 、 $V[X]=\dfrac{\theta^{2}}{(\alpha-1)^{2}(\alpha-2)}$ である。ある保険契約について、無作為に抽出した契約者の年間損害額 $X$ は逆ガンマ分布 $\mathrm{IG}(3,\theta)$ に従う。母数 $\theta$ には契約者ごとにばらつきがあり、ガンマ分布 $\Gamma\!\left(2,\dfrac{1}{100}\right)$ に従うものとする。同一の契約者の $\theta$ は各年で同一であり、 $\theta$ を与えたとき各年の損害額は互いに独立とする。いま、ある契約者の過去 $12$ 年分の損害額 $X_1,X_2,\ldots,X_{12}$ から、この契約者の次年度の損害額を推定する。次の(1)(2)に答えよ。 (1) Bühlmann モデルに基づく推定量が $\hat\theta_1=Z\cdot\dfrac{1}{12}\displaystyle\sum_{i=1}^{12}X_i+c$ と書けるときの $Z$ と $c$ 。 (2) ベイズ方法論に基づく推定量が $\hat\theta_2=\dfrac{A}{\displaystyle\sum_{i=1}^{12}\dfrac{1}{X_i}+B}$ と書けるときの $A$ と $B$ 。 $(Z,\ c,\ A,\ B)$ の組合せとして最も適切なものは □ である。