有効性

不偏推定量どうしを分散（不偏なら平均二乗誤差に一致）で比較し、より小さいほうを有効という。分散最小の不偏推定量が有効推定量。

比較を数値で表すのが相対有効性(RE)です。$\hat\theta_1$ を基準に $\mathrm{RE}=\frac{V[\hat\theta_2]}{V[\hat\theta_1]}\ \text{あるいは逆比}$ の形で分散比をとり、片方が他方の何倍ばらつくかを測ります。例として $N(\mu,\sigma^2)$ から $\mu$ を推定する2つの不偏推定量、標本平均 $\bar X$ と 標本中央値を比べます。$\bar X$ は不偏で分散 $V[\bar X]=\sigma^2/n$。一方、正規分布の標本中央値は（漸近的に）不偏で、その漸近分散は知られた結果として $\pi\sigma^2/(2n)$ です。相対有効性は $\mathrm{RE}=\frac{V[\bar X]}{V[\text{中央値}]}=\frac{\sigma^2/n}{\pi\sigma^2/(2n)}=\frac{2}{\pi}\approx0.637$ となります。$\bar X$ の分散は中央値の約 $63.7\%$ しかなく、言い換えると $\bar X$ のほうが約 $57\%$（$1/0.637-1\approx0.57$）効率的です。だから正規母集団では『平均は中央値よりよい推定量』なのです。

では『どこまで小さくできるか』の到達点がUMVUE（一様最小分散不偏推定量）です。すべての不偏推定量の中で、あらゆる $\theta$ について分散が最小になる推定量を指します。理論的な下限はクラーメル・ラオ下限(フィッシャー情報量) $V[\hat\theta]\ge1/(nI(\theta))$ で与えられ、この下限を達成する不偏推定量があればそれがUMVUEです。上の例の $\bar X$ は正規 $N(\mu,\sigma^2)$ で $V=\sigma^2/n$ がちょうどCR下限に等しく、$\mu$ のUMVUEになっています。UMVUEを構成する実践的な道具が十分統計量とラオ–ブラックウェルの定理で、『不偏推定量を十分統計量で条件付ければ分散が下がる』ことから、UMVUEは十分統計量の関数の中に現れます。有効性・十分統計量・フィッシャー情報量は、こうして『分散最小の不偏推定量』という1つのゴールでつながっています。

標本中央値も（漸近的に）不偏で、その漸近分散は $\pi\sigma^2/(2n)$。

$\mathrm{RE}=\dfrac{\sigma^2/n}{\pi\sigma^2/(2n)}=\dfrac{2}{\pi}\approx0.637$。$\bar X$ は中央値より約57%効率的で、$\mu$ の最良の不偏推定量。